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Si l'on pose 



.r = s -h it, y = M -H à', Z* = B + iW, 



elle s'écrit 



F — a{z'--\-Û)-hc{u''+ V--) 4- 2B{zu + Iv) + 2B'(/" — -"f)- 



Nous pouvons admettre, en remplaçant au besoin F par une forme équiva- 

 lente, que a est impair, et ac^o. 



Dans F, remplaçons i et v par nz et -imz, où m, n sont des entiers; nous 

 obtenons la forme ternaire réelle <I> ( indéfinie par ac'S.o) 



(2) <I>= (««- — 4B'/?i/j + 4c"J^);--l- «<--!- (■«-+ 2B/i^H+ 4B/?i 3i+ 2B'<M, 



dont le déterminant est DH, étant posé 



\\=i — an^-\-l^\Vrnn — [^cm■'-. 



Il est aisé de voir qu'on peut déterminer m et n de telle sorte : i ° que H 

 soit impair et positif; 2" que les coefficients de l'adjointe de «ï> n'aient aucun 

 facteur commun. 'èo\l § cqUq dtA'\oin\.G changée de signe; § est dite la réci- 

 proque de <I>, elle est proprement primitive et les invariants de $ sont dès 

 lors £2= — I et A= DH, dans la notation classique de Slephen Smith; 

 d'après les hypothèses, on a A^2Cmod 4). 



On aura évidemment établi qu'il n'y a qu'une classe de formes F pour le 

 déterminant D si l'on prouve que F peut représenter -h i (car alors F sera 

 manifestement équivalente à xx^ — D vy^ ), ou encore, si l'on prouve que $ 

 représente -1- i . 



Observons d'abord que, il étant — i , les caractères génériques principaux 



de $ sont les (v)' en désignant par un diviseur premier impair quel- 

 conque de A; il y a en outre, puisque li^i (mod2) et A^2(mod4),un 

 caractère supplémentaire que donnent les Tables de Stephen Smith, mais 

 qui s'exprime à l'aide des caractères principaux et de D, A ('). 



Considérons maintenant les formes quadratiques binaires, positives, pro- 

 prement primitives, de déterminant — A. 



Parmi elles, ,il y* en a une, cp = (a, [3, y), où p- — ay = — A, telle que a 

 soit premier à A, et dont les caractères génériques ^/-mciJDrtwa?, c'est-à-dire 



les ( - )' peuvent être choisis quelconques a priori : cela tient à ce qu'il y a, 



(') Smith, On Ihe orders and gênera of teritary qiiadratic forins {PInl. Trans., 

 l. 157) et OEuvres, t. 1, p. 455 (voir principalemenl le n°8). 



