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les fonctions hyperfuchsiennes corresj)ondantes s'expriment en fonctions 

 rationnelles de trois d'entre elles, E, y], 'C, liées elles-mêmes par une relation 

 algébrique 



(2) /{:;, Yi, r) = o. 



Considérons la fonction 



1-14 



0(i. -Il) 



XX,.-YY„)- 



regardée comme fonction de ; et de v]. Elle satisfait à V équation 



ou, en posant 



(du i)n 

 à{ç„, •/)„) 



i := X -+■ ( )•, 



■ce, Y, :■, t étant réels, à réquation 

 1 <y-ti ô- u \ / à- Il 0- a 



e" 

 76' 



+ 11, 



(3) 



\ â.i- 



ôy\l\dz^- 



dt' 



/ d-u à-u 



\àx dz dy dt 



ô-u 

 \dôc<)t 



,r-u ' 



àvû: 



et en outre aux inégalités 



(4] 



ù'u d-it 



7)^ ~^ 'àf ^ "' 



à- Il d-u 



<)z- 



ôr- 



>o, 



dont l'une entraîne l'autre. De plus, u est uniforme sur la surface {-i). 



2. Cherchons les singularités de la fonction n. En dehors des points 

 de /:;' = o et des points à l'infini, celte fonction est encore singulière pour 

 les courbes de l'espace (H, •/]) qui correspondent aux points et aux plans 

 doubles des substitutions elliptiques de G. Soit 



(5) 



9(J, ri) = o, 



: = 'H^^). 



une de ces courbes, cd étant un polynôme indécomposable, et '| une fonction 

 rationnelle : il existe un nombre p, supérieur à — 2, tel que;/ - |51og|ip(H,Y])| 

 reste fini au voisinage de la courbe. 



Si (5) est la courbe, de genre î/n au maximum, qui correspond à un point 



