SÉANCE DU 3 JUIN igi8. 897 



Le point D(a', h', c') est l'extrémité d'un segment OD égal à p et perpendi- 

 culaire au plan OAB. 



Soit maintenant, sur OD, un point D, centre d'une sphère S, de rayon R, 

 et OD, =: p,. Le cône de sommet O et de directrice S découpe sur S, deux 

 aires dont la différence est 



dx dy dz 

 (2) a,— o-,i=2 





p J^-^-^y- 



a 



X y 



le contour 1, tracé sur S, jouant le rôle d'une directrice quelconque du 

 cône et n'ayant nullement besoin d'être tracé sur S,. C'est celte formule (2) 

 qui est due à M. G. Humbert. 



La comparaison de (i) et (2) donne l'égalité 



(3) 2R,piV=;7:R-p((7,— a,) 



qui constitue la forme générale du théorème en vue. 



On peut lui donner des formes particulières diverses et d'une réalisation 

 géométrique plus immédiate. Ainsi, pour ap, = 2R1 ^ R, on a a-, = o et 



(4) V=:27rpa2. 



On a ainsi un théorème presque aussi simple et tout aussi géométrique que 

 le théorème de Guldin ordinaire; de plus, on pourrait l'établir directement 

 par de faciles comparaisons infinitésimales. 



L'égalité (4) montre que le volume tournant V est le produit de deux 

 facteurs qui sont : i" le chemin 27îp décrit par le centre O de la sphère 

 mobile; 2" l'aire sphérique a-, obtenue en projetant, coniquement, vers O, 

 la cloison contenue dans 12 sur une sphère associée à la sphère mobile et 

 ayant pour diamètre un rayon de celle-ci normal au plan contenant O et 

 l'axe de rotation. 



Cette interprétation pourrait être remplacée par plusieurs autres à peu 

 près aussi simples, et déduites aussi aisément de l'égalité (3) dont un cas 

 particulier a déjà été donné dans les Annales de la Faculté des Sciences de 

 Toulouse, 1914. 



c. R., 191S, I" Stmtstre (T. 166, N» 22.) "7 



