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(luelconquet Celte question, qui semble n'avoir pa$ été encore abordée, à 

 ma connaissance du moins, se traite aisément, si on lui applique les raisonne- 

 ments usités dans la théorie des formes positives : il suffit de restreindre les 

 solutions par des inégalités convenables. 



Celte restriction peut se faire comme il suit. On sait que, §{x,y, i) étant 

 une forme ternaire indéfinie à coefficients entiers, ses transformations sem- 

 blables en elle-même forment un groupé F, et l'on dit que dews. points a-, >', ; 

 et x' , y\ z' sont équivalents dans V si l'on passe de l'un à l'autre par une 

 des substitutions de F. Or, d'après Poincaré, Vintérieur de la conique 

 S(^a\ y, £ ) =: o peut se décomposer en une infinité de domaines^ iQ, lu', . . . , 

 limités par des droites, et tels que, dans chacun d'eux, il y ait un et un seul 

 point équivalent à un point donné, intérieur à la conique. 



11 est donc naturel de considérer, parmi les solutions de l'équation 

 §{x,Y, :;) = N, celles pour lesquelles le point x, y, z est dans oô; on 

 suppose .r, y, z entiers et sans facteur commun, c'est-à-dire qu'on ne 

 s'occupe que des représentations y^T-oyoz-e* de N par S. 



Cela posé, il suffit de reprendre, mutatis mulandis, les raisonnements que 

 fait Smith dans le cas des formes positives, pour obtenir des résultats ana- 

 logues aux siens, dans le cas des formes indéfinies; l'extension ne présente 

 aucune difficulté ; aussi nous bornerons-nous à énoncer les résultats définitifs, 

 avec les notations de M. Bachmann, dans sa Théorie des nombres. 



2. Formes d ini'ariants il, A impairs. — Soient f,, f.j, f, ... des formes 

 lernaivea indéCmies, propj'ement primiliçes, de mêmesinvarianls O, Aimpairs, 

 et de déterminant O" A positif (A ^ o, ii <] o ), choisies, une par classe, dans 

 un même genre donné ; et soient #, , ^.,, ^^, ... leurs réciproques, supposées 

 proprement primitives. 



Désignons par (D,, (O^, ••• des domaines de Poincaré correspondant res- 

 pectivement à i,, ,^;;, ...; par v le nombre des facteurs premiers distincts 

 (supérieurs à i) de ] ii|; par M un entier positif, premier à OA et >• i. 



Comme nous allons parler des représentations propres de — -M par 

 ^'f,, $.,, ..., il est d'abord nécessaire, pour que de telles représentations soient 

 possibles, qu'on ait 



M\ f'r 



(=» 



désignant tout diviseui' premier de A, supérieur à i . 



I. Soit |i2M| I ou 2 (mod4)- — Le nombre des représentations propres 



