SÉANCE DU lO JUIN KjlS. 929 



Si une représentation .-r, y,^, de M, donne, daas les inégalités de restriction 

 correspondantes (3), (^4) ou ( j)) un signe =,elle ne compte que pour-- 



Vérifications. — Dans 1°, soit M = 10; on est dans le cas I : le nombre des 

 représentations 10 = 3x'- —y- — -", satisfaisant à (4), doit être 2-' H(3o), 



c'est-à-dire 7/1, ou deux. On trouve en effet, £, t' désignant ± i, 



d'où quatre représentations, ne comptant que pour moitié, soit deux, 

 parce que, par | £ | = | c'|, on a un signe = dans (4)- 



Dans 3", soit M = 28; cas III, avec E = -f- 1. Le nombre des représenta- 

 tions 23 = 3a:- ~ y- — 3='-, satisfaisant à (5), doit être 



2[H(23)-HH'(23)|, 



soit douze, et l'on trouve pour a-, y, z les solutions restreintes 



3s, 2£', o; 3£, î', s; 5e, 5s', 3s; 5s, 1;', 4s (s, e'r=±i), 



qui comptent pour -4 + 4 h — 4 + 4? ou douze. 



5. Aire non euclidienne de (0. — Je me bornerai au cas particulier 

 de 12 = — I et A impair; il n'y a, pour un genre, qu'une / et une §. En 

 reprenant les calculs de Smitb pour la détermination de la densité d'un 

 genre"de formes positii'es, on arrive à ce résultat : 



/ et .f étant proprement primitives, Q. égal ii — i et \ impair, l'aire non 

 euclidienne du domaine ^^ de Poincaré pour f, la conique y"^ o étant prise 

 comme absolu ( ' ), a pour expression 



(«) 



12 2''"' X J-r~ 





les notations ci-dessus sont conservées, k désigne le nombre des S distincts. 

 Cette formule, avec son second membre complété conformément à celle 



(') L'élément d'aire par rapport à la conique de premiei^ membrey(.^■, r, i ), et de 

 déterminant D. est dxd\\/ — - 



