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corps, toutes les autres sont données par la formule 



(I) a> = K(2, / — x) + a»„(£; x, v)+ r chW{l,c^)*b„{G;.r. y), 



OÙ K est tout à fait arbitraire. 



2. D'après les résultats de mon dernier « pli cacheté » ('), il est naturel 

 de chercher à déterminer la fonction $ par la condition suivante : 



(11) à(i)ù(iJ.) = o{i^}, 



A et (x étant arbitraires, D(X) désignant l'expression (a) (^). J'ai, dans mon 

 précédent « pli », traité cette question pour les fonctions permutables avec 

 l'unité. La méthode que j'ai donnée se généralise difficilement, à moins 

 d'admettre l'analyticité de F. Aussi je reprends ici la question d'un point 

 de vue général. 



3. Pour que (II) ait lieu, on démontre qu'il faut et suffit que $ vérifie 

 l'équation fonctionnelle 



III) a)(T + -n: X, v)=:<I»(T;rn-x,j) + tl>(rj;.r,j-T)-i- / «1)(yi; .r, Ç) «I>{t; r,,i-) "'? 



En posant 



a>(T; T,,y) = 'F(T; .^^ j - t) 



et après quelques transformations, il vient enfin, pour déterminer W, 

 l'équation 



(IV) W{r,;x.Y)= f f[oc-\--r,\Y^ri')du'+ f dn' i ./^l'Cry'; ,r, Ç)/(r,' + Ç. y -H-^'). 



"- (1 "^11 • .1 



On la résout par approximations successives. On trouve 



(V) w-^W,+ W,^ + ...+ W,. + ... 



(') Sur certains développements en série. Pli cacheté n° 8356, inséré aux Comptes 

 rendus du 6 mai 1918. 



(-) On pourra alors, sans qu'il y ait un mol à changer aux raisonnements, appliquer 

 à un coips quelconque de fonctions permutables tout ce qui est dit, dans mon pré- 

 cédent pli, à propos de'^ fonctions permutables avec l'unité. 



