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dans lesquelles les seconds membres doivent être entendus comme égaux à 

 leurs valeurs principales au sens de Cauchy. Henri Poincaré a tiré de la 

 première de ces équations d'importants résultats (^Comptes rendus, t. 96, 

 p. 1 134); plus récemment M. Fatou, dans sa ihèse ( Acla mathematica , 1906, 

 p. 335), a précisé à ce sujet divers points essentiels, et j'ai aussi étudié ces 

 équations (Acta /nat/iematica, t. 40, i9i(J, p. 108). 

 Je considérerai maintenant les deux équations 



1 

 — ^,(Lv — iy) — ïo (ix + iy) + ^3 (ij; — iy) + Z^{i.v -+- ly) j dy, 



fi),, 



(3) g{y)=^-^ f /(;)}-Ç(/j-/.-)-h:(o' +/=) — r,(/y-/3) + r,(// + /3) 



-i-Ç2('> — '=) — Ç-2( '■,'• + «■--) + Ç3 («> — <-) — ?3('.y^-'^) ! dz, 

 dans lesquelles les fonctions *(, C, 'C.,, T, sont les fonctions elliptiques con- 

 struites avec les périodes 2co,, 2CO3. (les deux équations, où il n intervient 

 nulle constante additiçe, et où il faut envisager les seconds membres comme 

 remplacés par leurs valeurs principales, sont réciproques et donnent la 

 solution l'une de l'autre, ce qui n'était pas entièrement le cas pour les équa- 

 tions (i), à cause de la présence des constantes C, et Cj. Comme les équa- 

 tions(i), ces dernières sont des équations de Fredholm, de première espèce, 



mais singulières, les noyaux devenant infinis comme ou pour 



•^ y y - 

 j ^ a; ou z ^ y respectivement. 



Chacune de ces équations ne peut admettre, par rapport à la fonction 

 qui entre sous le signe intégral, qu'une seule solution au plus. Pour 

 prouver que (3) par exemple donne la solution de (2), transportons la 

 valeur de giy^ dans l'équation (2), après avoir isolé dans les intervalles 

 d'intégration les deux petits intervalles partiels x — t, x -\- 1, concernant 

 l'équation (2) et j — y], y -^f], concernant l'équation (3). On est ainsi con- 

 duit à considérer l'expression 



(4) 



en posant 



ta, p M, -j 



-L lim f V r " /( z)dz\ [ + Ç\ U ( (» dy 



[— Ç,(JX _ /) _ Ç,(j.r + + S-'iC'-*- - + ÇsC'^ + oj 

 [-h ?,(< — «•;) -?,(/ + iz) +Ç3(/ —iz) —l;{t +«^) 



