SÉANCE DU 17 JUIN I918. iQSS 



Or U(^) est une fonction doublement périodique, aux périodes aw,, 2to.,. 

 Dans le rectangle fondamental construit sur ces deux périodes (ou plutôt 

 dans le rectangle déduit de celui-ci par une légère translation qui amène 

 l'origine à l'intérieur) elle admet, tant qu'on suppose - 7^ r, 16 pôles 

 simples dont les résidus sont 8 par 8 égaux, au signe près, aux nombres 



p, = — Ç (ix — iz) -hZ {ix + iz) — Çi(«^ — iz) -\-t,^{ix + iz) 



4- ^i{ix — iz) — ^^{ix ^ iz) ^ 'C,,{ix— iz) — X,:i{ix-^ iz), 



p, = ? ( «X — iz) -h Z {i.v + iz ) — ^,(ix — iz ) — Ç, ( i.f -h iz) 



On peut faire voir que la quantité 



f +f V.{iy)dy 



est égale à 



^, , . . , 'jt'îix -^ iE)'jJiijL- — ii)a^_(iix — ii)a3{'2ix + iz) 



' '^ '7{ii.r — iz) a^{iix -\- iz) (j.i{%ix -\- iE)a.n{iix — te) 



l ff( — ir -\- iz -\- ii.) ai{ix -\- iz — iz) (j^{ix -}- iz — iz) ^^{ix — iz — (£) / 

 I X (7{ ix + iz -Jriz) (yi(ix — iz + iz) a.i{ix — iz + iz) ij^iix ^ iz -{- iz) \ 



"■ '^ ( (t( ix — i z -\- iz) '7t{ix — iz — iE)iT.,(ix — iz — is) a;i{ix -h iz — ie) | 

 ( X (t( ix-hiz — iz) f7i{ix -h iz -^ is)<7i{ix -h iz + iz)a3{ix — iz -h iz) \ 



En transportant dans (4) on voit que la valeur z = y n'introduit plus 

 aucune difficulté, mais il faut au contraire isoler la valeur z = .r, pour 

 laquelle le calcul précédent n'est plus valable. On est ainsi ramené à l'étude 

 de l'expression 



lim r -h f \ix, z)fiz)dz. 



Ainsi préparée, la démonstration de la formule voulue reste encore 

 délicate, car on se trouve ramené à une intégrale singulière, pour laquelle 

 un seul élément donne la valeur de l'intégrale à la limite; or- cet élément est 

 précisément celui qui con-esponcl à : = r, valeur pour laquelle les calculs ci- 

 dessus n ont plus de sens. On lève la difficulté en utilisant un artifice employé 

 par M. E. Picard (Annales de l'École Normale, 191 1, p. 459) à propos des 

 équations intégrales de troisième espèce, qui, malgré des différences essen- 

 tielles, ne sont pas sans présenter quelques analogies avec celles qui nous 

 occupent. 



