SÉANCE DU 17 JUIN 1918. 983 



de conlinualions directes de cette chaîne sont toujours telles qu'il y a, dans 

 la chaîne définie par cette série, un segment de type y». «Et une série S^de 

 continuations directes d'une chaîne (K) de M est une série de loules les con- 

 tinuations possibles (dont Kest unsegment)de K telle que, si Iv' (de type y') 

 est un membre de cette série S,;, tous les membres de S^ qui sont des types 

 moindres que y' sont des segments de K». 



Il convient maintenant de nommer « série complète de continuations 

 directes» toute série de l'espèce que j'ai nommée ci-dessus «série de 

 continuations directes •>■>. .Une « série de continuations directes » n'est pas 

 nécessairement (dans la présente Note) une série complète, c'est-à-dire telle 

 que, de toutes les chaînes de M, il n'y en a pas une quisoit une continuation 

 de tous les membres de ladite série. S'il y a une telle chaîne, naturellement 

 elle est en dehors de ladite série. 



Si les membres d'une série sont des chaînes dont l'ensemble donne tous 

 les types moindres que le nombre ordinal y, on ne peut pas conclure, en 

 général, que la série a un membre du type y. Mais si^la série est une série de 

 continuations directes, on peut évidemment faire cette conclusion si y n'a 

 pas un prédécesseur immédiat. 



On peut penser qu'on obtient toutes les séries complètes de conti- 

 nuations directes en négligeant toutes les chaînes de M qui sont des segments 

 d'autres chaînes de M. Ceci est vrai, mais pour rendre évident qu'il y a 

 actuellement de telles séries complètes, on se servira de la méthode suivante, 

 qui apprend de construire avec les chaînes de M, d'une marche toute définie 

 et uniforme et sans en négliger aucune, des séries complètes de continuations 

 directes. 



A cet effet, employons l'induction mathématique généralisée ; démontrons 

 qu'on peut former des séries de continuations directes avec les chaînes 

 de M des types i et 2, et, si l'on peut procéder ainsi pour toutes les chaînes 

 de iVI des types moindres que a, où a est un nombre ordinal quelconque fini 

 ou transfini, qu'on peut le faire aussi pour les chaînes de M (s'il y en a) 

 du type a. 



Prenons toutes les chaînes de M dont les types sont i et formons-en une 

 classe u^ de série, dont chacune a comme seul membre une de ces chaînes. 

 Avec chacune de ces chaînes de type i rangeons, pour le moment, toutes les 

 chaînes de M qui sont à la fois de type 2 et telles que celle chaîne de type i 

 en est segment. Imaginons qu'on met une chaîne identique avec cette 

 chaîne de type i dans une même série que chacune des chaînes de type 2 

 ci-dessus mentionnées. Si l'on fait ainsi pour toutes les chaînes de M des 



