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types I et 2, on obtient une classe u., telle que, si a- est un membre de u^, 

 •3^ est une série de continuations directes dont ces chaînes sont des types i et2. 



Supposons qu'on a rangé les chaînes de M dont les types sont tous les 

 nombres ordinaux moindres que a, où a a un prédécesseur immédiat a — i , 

 dans des séries de continuations directes; la classe «t,,, de ces classes 

 étant telle que, si .r est un membre de «a-n ^ est une série de conti- 

 nuations directes des types i, 2, ..., a— i. Des chaînes de M de type a 

 (s'il y en a), mettons dans chaque a? toutes celles qui continuent toutes 

 celles de .r. Imaginons des classes identiques à a? de sorte que chacunedeces 

 dernières chaînes de M de type a forme, avec sa propre série identique kcc, 

 une série de continuations directes des types 1,2, ..., a. Nous dénotons 

 par «œ la classe de toutes ces séries. Notons que nous ne choisissons pas, par 

 un usage plus ou moins explicite de l'axiome de M. Zermelo, un membre 

 spécial de «„ , ou une classe spéciale identique à «a c K" effet, tous les 

 membres de «5,-1 sont traités de la même façon, et, quoique nous parlons 

 de plusieurs chaînes identiques, nous ne faisons ainsi que pour ce que me 

 semble facilité de visualisation. 



Si a n'a pas un prédécesseur immédiat, nous pouvons évidemment former 

 une chaîne de type a avec une série de continuations directes de tous les 

 types moindres que a. La conclusion ne vaut pas évidemment, si l'on 

 n'emploie pas l'axiome de M. Zermelo, si la série des chaînes de tous les 

 types moindres que a n'est pas de continuations directes. 



Nous pouvons maintenant démontrer, par le raisonnement donné dans 

 ma Communication antérieure, que, étant donné un nombre ordinal y aussi 

 grand qu'on veut, une série complète quelconque de continuations directes 

 est toujours telle qu'il y a, dans la chaîne défîniepar cette série, un segment 

 du type y. 



En somme, j'ai démontré qu'on peut former, d'une manière unique- 

 ment définie pai" la classe de toutes les chaînes de M, une chaîne qui épuise M. 

 Cette classe a évidemment des membres, si seulement M n'est pas nul ; mais 

 que cette classe a des membres qui épuisent M n'est pas présupposé ici, 

 mais démontré. 



