SÉANCE DU 17 JUIN 1918. 987 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de Diriclilet. 

 Note de M. E. Cahen, présentée par M. Hadamard . 



On connaît Timportance, dans la théorie' des nombres, des théorèmes 



suivants relatifs aux séries de Dirichlet ^ — : 



1 

 « " 



Supposons ^ — ^ convergente pour .v > i . Soit V «„= A„. Supposons que 



1 



s tende vers i par valeurs réelles ]> i . Alors 



T^ / N V "" r" ■^« 



lira ( j — I ) ^ — '"" — ' 



1 



Um (s — I ) 7 — - um — . 

 Si '—^ a fine liniile /, la série est convergente pour ^ ^ i , et Von a 



1 



En particulier, liin(5 — i)'C(^) = i. Ce cas particulier s'établit directe- 

 .' — >- r 

 ment et sert à traiter le cas général. 



J'ai cherché à étendre ceci aux séries générales de Dirichlet 



V^ 



(0<p, <p,<. .., /a„=:oo) 



Dans tout ce qui suit s ne prend que des valeurs réelles >■ i . 



La série qui remplace ^^ — est V — — |-^^ ( |j.„ = o). 



1 1 



L'abscisse de convergence de cette série est égale à i. En effet, pour 



n 



los y^ a„ 

 y -^î l'abscisse de convergence est lira — j — ! > lorsque cette limite 



1 



est positive. ( )r, ici, elle est égale à i . 



