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On peut voir de plus que la série est divergente pour s — i. En effet, elle 

 s'écrit dans ce cas "V (i - ^^^^ ) • Posons t — '^^ = u,„ on a 



^=TT(,-«„). 



Puisque [j.„ croît indéfiniment avec n, le produit |^[(,i — w«) est égal à 

 zéro. Donc la série T] u,, est divergente. 



Il faut voir ensuite si (s — i) 51 ^'^"~i"'"'^' a une limite L lorsque ^ tend 

 vers I. On a les résultats suivants : 



I o 1 1 m ( 5 — -1)7 ! - o, 



évident, car l'expression est > o; 



Le second membre tend vers i lorsque s tend vers i. 



Ainsi la limite L, si elle existe, est entre o et i, limites incluses. 



Mais cette limite existe-t-elle ? Je démontre qu'il en est ainsi lorsque a,, est 



un polynôme entier en n; plus généralement lorsque la série "S -^ — ^ "~' 



est convergente. 



Pour ii.,i—a", a>i (cas de la série de Maclaurin), L existe et peut, 

 suivant les valeurs de a, prendre toute valeur entre o et i . 



Je n'ai pu décider si (i — i) V — — j^^^ a toujours une limite quelle que 



soit la loi de croissance des a,,. Mais on voit que cette circonstance se pré- 

 sente dans des cas assez étendus. 



