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1 ^ -^•cr'+.^.-cr-.^-c r+ ••• (84) 



1 ., ST' 3 4 ^ ' 5-6 ' 7-8 



a:(a: 



ß, /-.S-l ß. 



s=l 



"'(^) = 2^+^ 





s = l 



a;(æ + l)(x+2)...(æ+s) 



(85) 



1 , x^i+i '^~^ '^'"^^ ' (86) 



<^(-)-îl. + ^ 



x(.T + l)(x + 2)...(x- + s) 



s = l 



:r.,, ^ 1 + V -+^^ ^'^"^^ ^"^-^^^ ' ^«'^ 



"^ -* 4x"^^ x(x + l)(x4-2)(x + 3)...(x + s) 



séries qui sont convergentes dans le demi-plan défini par l'inégalité : 3î(x)>0. 



La même méthode ') donnera encore les autres séries suivantes de factorielles ; 



Y"ï^ '^'~3^^ ^^^ ^ (88) 



"'^•^^ ^ (a;+l)(x + 2)(.r+3)(x+s+ïr" 

 s = u 





s=0 



y Cs+1 + y • Wi — ^ • i^s+1 ^ 

 1^+1) (æ + 2) (X + 3) . . . (x+ï+fT 



j^ • Cs+i + y C,+i + . . . + ^^3j • Ls+l 

 (x + l)(x + 2)(x + 3) ... (x + s+1) 



s = 



_ ^ ^•c.+i + f •c.+i + --- + ^:^-C s+i 



£(x) -^ (x+l)(x + 2)(x+3) ... (x + s-1) 



(/>(x) =^ 



(89) 



(90) 



(91) 



= 



séries qui sont convergentes aussi pourvu que 9î(.x") > 0. 



On voit que les expressions pour les coefficients des séries de factorielles 

 obtenues pour w(.r) et m^{x) sont formellement différentes de celles données par 

 Binet et qui se trouvent par exemple dans le beau mémoire de M. Jensen sur la 

 fonction gamma 2). Or, en égalant ces expressions diverses, on trouvera une 

 suite de relations intéressantes entre les nombres de Bernoulli et de Stirling, 

 relations que j'ai étudiées sous une forme beaucoup plus générale dans un mémoire 

 qui paraîtra prochainement dans les Annali di Matematica. 



') Mathematische Annalen (sous presse). 



') Nyt Tidsskrift for Matematik, t. II, li; 1891. 



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