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nous aurons : 



e'—e-' _ _ 2e-' _ 2 



e'+e-' "" e' + e-' ~ ë^^+1' 



d'où, en vertu de (f): 



1 11 V^ 93 



où nous avons posé pour abréger : 



îTT^^CsTiy!'''' l'K'^' (^) 



^0 = ~, 932» = ^2W ■ ^2s+i , «25+1 = (-1)' • 22' • Bs+1. (79) 



§ 21. Séries asymptotiques et séries de factorielies. 



Introduisons maintenant dans les expressions intégrales obtenues pour les 

 fonctions cu,{x), oj{x), <P{x) et E{x) les séries de puissances (;-), (S) e.\.(e)\ un théorème 

 général que j'ai démontré récemment ') donnera les quatre séries asymptotiques 

 suivantes: 



'"^•^'^ ~^ (25 + 1) (2-s + 2y ■ ï^i ^^^^ 



s=0 



-iW~2S+^ 2s xä (81) 



s = 11—1 





S = ll— 1 



H(.-)~l + ^^^.^, (83) 



s = l 



où le signe cvj désigne une égalité asymptotique d'après la délinilion de M. Poincaré^). 



Les (jiialre séries asiimpl()ti(iiws siisdilcs sont applicables dans les points très éloignés 

 situés à droite de l'axe des noml)res purement imaginaires. 



La série (81) est la série asymptotique célèbre, dite série de SmiLiNO. 



Or, ces quatre séries asymptotiques une fois trouvées, nous aurons ces déve- 

 loppements en séries de factorielies: 



') Annales de l'École Normale (3), t. XXI. p. 452; 1904. 

 ') Acta Mathematiea, t. », p 2U7; I88Ü. 



