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-^ife-T^)- 



ce que donnera, en vertu de (74), cette intéressante formule intégrale: 



l0£ 



-=i(^îï-p)f' 



qui est due à Stern '). 



Revenons maintenant aux représentations intégrales (a), (/î), (74) et (74 bis), 

 puis mettons-y t = — logz, le théorème fondamental'-) de ma théorie des séries de 

 factorielles montre que les quatre fonctions susdites sont développables en séries 

 de factorielles convergentes toutes les quatre, pourvu que ^{x)y>0, condition qui 

 est nécessaire aussi. De plus, il est évident que ces quatre séries deviendront très 

 analogues; or, pour mettre en pleine lumière, une telle analogie, nous avons à 

 déduire de nouveau par un procédé rigoureux les séries de Binet pour cuix) et a>,(x). 

 Pour cela, prenons comme point de départ la série de puissances prise généra- 

 lement comme définition des nombres de Bernoulli^) savoir: 



^ (2s)! 



B. ß B. ß 



■, \t\<27r, ir) 



X ' ( — 1) B^s-l f'iS-l 



désignent les nombres de Bernoulli; changeons maintenant dans (y) le signe de /, 

 nous aurons, en vertu de la règle de Cauchy: 



où nous avons posé pour abréger 



{-l)"B.2n+i 



Ain = 



(2n + 2)I 



^^ ' '^ (2s)! '(2/1 — 2s + 2)! 



s= 1 



Or, appliquons cette formule numérique très connue : 



s = 11 



ßäs-l 02n-2s-|-l 2/l-)-3 



(2s)! (2n-2s + 2)! (2/i+2)! 

 nous aurons, en vertu de (y)^ une nouvelle série de puissances, savoir: 



') Zur Theorie der Eiilcrschen Integrale, p. 4. Göttinger Studien 1847. 

 ») Annales de l'École Normale (3), t. 19, p. 421; 1902. 



') A. Hadicke : lîeeursiousfornieln für die Bereehnung der Hernoulliselien und Kulerschen Zahlen; 

 Halle 1880. 



