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fonctions qui sont très seml)lal)les entre elles et analogues du reste aux fonctions 

 célèbres (u{x) et <u,(.t), savoir: 



(o{x) = log l\x) — (x—~j -logæ + o:— logl/2^ 



(o, (x) = log X — nx) = — — 7)^ .« (X). 

 Cela posé, cette formule intégrale due à Cauchy ') 



'" ^-"^ =="- *i S" (.--^i - T -^ 2 ) '"' '^^ (-^-^ > 0' 



(«) 



donnera immédiatement l'autre formule analogue 



(yî) 



d'où, en vertu de (73) et (73 bis): 



Cherchons maintenant les deux intégrales numériques susdites; nous aurons 

 tout d'abord, à l'aide de (72) et en posant dans (65) ;/ = 1, cette formule 

 intéressante : 



// (X) = log 1/ 2 ;r - log ß (I" , 2 ) - 2- ^(.r), (75) 



d'où, en vertu de (73 bis), une représentation intégrale remarquable, et qui est, je 

 crois, nouvelle: 



Quant à J ^ f''(x), prenons comme point de départ l'identité 



^•(.r)^log.r-(..(x)^2x)-2^' 

 nous aurons, en vertu de (73), 



J " ' ¥(x) =-- log Fix) — I ¥{x) — {x) + 3 (x). (75 bis) 



Cela posé, mettons maintenant dans (75) x=l, nous aurons 



^(l) = log|/| + |, 



ou c désigne la constante d'EuLER. Or, nous avons pour C la représentation inté- 

 grale bien connue ^) 



') Voir G. F. Meyer: Theorie der bestimmten Integrale, p. 13G; Leipsie 1871. 

 '') ü. F. Meyeh: loc. eit. p. 152. 



