04 .38 



f {t, X) = (- log /) - " • P (.r, - log O, 

 d'où, en verlu de {H): 



^(/,.r+l) = .r.cr(/,x).(log/)2— /.(— logO"""^; 

 c'est-à-dire que la valeur limite (71) est vraie encore pour 9{(x)> — 1 et ainsi de suite. 

 Cela posé, mon théorème général concernant le champ de convergence d'une 

 série de lactoriclles V) donnera cette proposition: 



Supposons que .v désigne une quantité finie, non égale à un entier négatif ou à 

 zéro, les séries de factorielles (6S) et (68 bis) sont convergentes, pourvu que 9{(.r)>0. 

 Comme cas particuliers de Kix, y) mentionnons seulement les deux suivants: 



di{x,l)=ß{x) (72) 



X(l,y) = log(l + ^), (72 bis) 



ou ßix) désigne la fonction introduite dans (25). 



La dernière des deux formules (72) nous permet, en vertu de (68) et (68 bis), 

 de déterminer exactement les champs de convergence des séries de factorielles données 

 par Binet'-) pour les deux fonctions loix) et m^{x), séries que nous avons à déduire 

 d'un autre point de vue dans la dernière section de ce mémoire. Du reste j'ai 

 déterminé récemment ^), par une méthode entièrement élémentaire, les champs de 

 convergence susdits. 



VIII. 

 Applications sur la fonction gamma. 



§20. Les deux fonctions J '/î(.r) et J~' r(-r). 



Comme un second exemple des applications de nos formules générales, étudions 

 ces deux fonctions: 



J-'y(æ), j^Vw, 

 ou, ce qui revient au même, ces deux autres fonctions 



(73) 



S — QD 



') Annales de l'École Normale (3), t. 19, p 421; 1902. 



») Journal de lÉcole polytechnique, cahier 27, p. p. 231, 234, 258, 339; 1839. 



') Annali di Matematica, (3) t. 9, p 237^245; 1903. 



