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X i^, y^ -= ^ + ^ x+5 + x+s-i +----~^qFî (68) 



»=i y(y + i)(j/ + 2)....(y+s) 



1 4^ 5! c: (s-l)!C', l!Cr ' 



»=' (y+l)(y + 2)(y + 3)....(y+s+l) 



où les coefficients Cj sont les nombres de Stirling définis à l'aide de l'identité 



x(x + l)....(a; + s— 1) = C;x*+CU*"'+....+C^T^-''+....+Cr'.ï. 



Les deux séries (68) et (68 bis) sont certainement convergentes, pourvu que x 

 désigne une quantité finie qui ne doit pas être égale à 0, — 1, — 2, — 3,...., tandis 

 que nous avons respectivement 3î(j/)>l, 9î(y)>0. 



Cependant, notre évaluation des deux séries de factorielles susdites ne permet 

 pas de déterminer exactement leurs champs de convergence. Pour obtenir une telle 

 détermination exacte il faut écrire sous cette forme notre fonction X(x,y): 



X{x,g) =ll(pit,x)t''~'dt. (69) 



Or, la formule (58) donnera immédiatement: 



ï (X, y) = $"z- " P (a-, z)e-'» dz, 9i (y) >() , (70) 



où P{x,z) désigne la fonction de M. Phym, savoir: 



ou, ce qui revient au même: 



s — <x s — <x 



t-(X,.) ^ S!(.T + S) ^ X(X+1)....(.T + S)- ^^^ 



s = s =! U 



Posons maintenant dans (70) z = — log/, nous aurons, en vertu de (/9), l'ex- 

 pression suivante pour la fonction génératrice (f(t,x) figurant dans (69): 



ip{t,x) = j;]f"u"^~Vn, 9î(x)>0. (69 bis) 



Cela posé, il est évident que f(/,x) est, considérée comme fonction de /, holo- 

 morphe à l'intérieur du cercle 1 — 1\ = 1 et qu'elle n'a sur la circonférence de ce 

 cercle que le seul point singulier / = 0. De plus, nous aurons, en vertu de (69 bis): 



. 00 



U' (71) 



lim \t''-ip{t,x) 

 ( = + o| 

 selon que ,< 5 0. 



Cependant la valeur limite (71) n'est démontrée que si 9î(x)>0; or, nous 



auvons, en vertu de la seconde série (;-): 



- log/- (P(x+ 1, — log/) — log/) = X • P(x, — log/) — /, {S) 



tandis que (67 bis) donnera: 



