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Revenons maintenant à la formule (58), puis désignons par 



s, £j £3 e„ 



toutes les racines de cette équation x"= 1, tandis que r est un nombre entier, nous 

 aurons aisément: 



s — Il 



^£^ï(x,£,y) = (-y)"-'--x(-'^^^,-(-y)") ; (66) 



s=l 



supposons au contraire que 



soient toutes les racines de l'équation .r" = — 1, nous aurons 



s = n 



^ d',.}i{x,8sy) = -(-y)"-'--.ï iy ^[ S (-;/)") ■ (66 bis) 



Cherchons encore une expression intégrale pour le produit K{x,y) •'X.{x,z), la 

 formule (8 bis), donnera immédiatement: 



■i(x,y)-Ux,z) = Imf'dt, 



où nous avons posé pour abréger: 



da 



m 



\(y«- 



t + /)(z + «)' 

 où, ce qui est équivalent: 



de sorte que nous obtenons finalement, pourvu que 9î(.r)>(): 



.ï {X, ij) . A- {X, z) ^ D^ X (X, - y z) + (log ( 1 + y) -|- log ( 1 + z))- X (.r, - 1/ z) - 

 _ r' log(y + t) + log(z + /) ^^ 



1 -y^+t 



(67) 



formule de laquelle nous pouvons déduire immédiatement un grand nombre des 

 formules concernant le carré de '/'(.i) que j'ai démontrées récemment par une mé- 

 thode directe '). 



§19. Étude de dl(x,ij) considérée comme fonction de y. 



Enfin nous avons aussi à étudier .ï(.r, y) comme fonction de y; en premier 

 lieu appliquons une méthode que j'ai appelée la méthode de Stirling-); nous 

 aurons, en vertu de (58) et (59), ces deux développements en séries de faclorielles: 



') Annali di Matematiea (3), t. 9, p. 197— 201; 1903. 



') Annales de l'Ecole Normale (3), t. 19, p 437; 1902. Mathematische Annalen (sous presse). 



