35 91 



valable pour toutes les combinaisons des valeurs finies de .r et de ;/ pour lesquelles 

 les deux membies sont des fonctions analytiques. 

 Remarquons maintenant l'identité 



XU;y)-^y-F(i,.,x+i,-'^), 



où F désigne la série bypergéomélrique ordinaire; nous verrons que (62) est un cas 

 particulier d'une formule due à Gauss '). 



§18. Autres propriétés de 3c (x, y). 

 Cela posé, étudions la fonction J 7 ' .¥ (v, y) ; nous aurons tout d'abord: 



X{x+l,y) = \ 'Hfailzzi/) rff == ^-g.X{x,g) , (63) 



ce qui donnera: 



J., X (.V, y ) = ~ — (y + 1) • X (X, y) , (63 bis) 



d'où inversement: 



Jx ' X (.1-, y) = y ^-j- ( ¥{x) - ï (x, y)) + S (x) ; 



c'est-à-dire qu'il est possible de déterminer la fonction arbitraire périodique Zs(x}, 

 de sorte que nous aurons, en vertu de (56), une identité de cette forme: 



[ X (a, y) da — ( l'I^) — X {x, y))- ^-^ + 3 (x) =^ ^-j^ • ö>, (x + s) ; (a) 



à cet effet, mettons dans («) x+1 au lieu de x, puis appliquons (63), nous aurons 



(" 

 S(x) = -~\x{a+l,y)da; 



c'est-à-dire (|ue nous avons démontré la proposition intéressante que voici: 

 Posons pour abréger 



r(y)= ^yY{a+l,y)da- (64) 



rons 



V X (a, y) da - ^^ (( fix) - X (x, y)) - y (y) =^-^=n~ " ">. (-^ + *) > 



noua aurons 



(65) 

 u ■ 



S = 



ou bien, pourini que ;)i(.r)>0: 



[ 



X (a, y) da = — -. . ( fX-v) + y ■ X (x, y)) + ^ (y) + \ ( ^— - i ) — ^-^ dt. (65 bis) 



■) Disquisitioncs generales circa functiones a serie iiitinlta etc. §49. Werke, t. III. 



12- 



