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(y-^l)"--- ^n(n — l)....(n— /•) ^n — r + s \ y Jj ^ ' 



On voit ([uc le développement de K{.r,ii) en série de coefficients binomiaux ne 

 présente aucun intérêt particulier. Or, appliquons l'identité 



AUix, y).= 1 = (- D". C ^"-f da ; 

 nous aurons jjour la fonction /(/), introduite dans (33), cette expression intégrale: 



,. _, ^ r äa ^ M'^) + ^' 



'^ ' \(«+y)(« + /-«/) yt+t-y "' 



valable pourvu que |1 — «|<1|, de sorte, que la formule générale (33 bis) donnera ici: 



»■log(l + i)+log/ 



-^ X(x,y) = \ 



sins-x \ 



^' /^ V/. 



{l-t)-(yt + t-y) 



Posons maintenant dans cette formule 1 — .t au lieu de x, - au lieu de ii, 



y 



puis transformons l'intégrale définie ainsi obtenue en mettant 1 — / au lieu de /, 

 nous aurons de même: 



in;r.r V . 'y/ ^ (l_ 



+ y) + log(l~0.,x-,^,^ 



sin;r.r V . 'y/ ^ (i_/)-(y/+,_y) 



ce qui donnera : 



j^.(.ï(.T,,/) + y.?e(l-.T,Jj) = -logy.G(æ,y) + o,G(æ,y), 



r /— 



\(l-tf{t+ty- 



sm 

 où nous avons posé pour abréger: 



or, nous aurons inmiédiatement, pourvu que !y + l|<|y|: 



Gix,y) = -.^^•(— y^"', 

 ^ '■' sm TT .-r ^' ' 



ce (}ui donnera, en remarquant que .ï(.r, y) + y-X I 1 — x,\ doit être positif pour 



y>ü et 0<.r<l, cette équation fondamentale: 



X(.r,y) i y.xfl-.r, M = .-'^ ■y'"', (62) 



V y/ sin TT.r 



