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VII. 



Applications à la fonction 3^{x,y). 



§ 17. Applications des formules générales. 



Comme un premier exemple des applications de notre théorie générale nous 

 avons à étudier une fonction particulière à deux variables indépendantes qui 

 mérite être considérée séparément à cause de ses propriétés intéressantes, savoir la 

 fonction : 



X(x,y) = \-~<1t, (57) 



où il faut admettre ';}{(.t-)>0, tandis que y peut être une quantité finie quelconque 

 hors des valeurs négatives qui satisfont aux inégalités 



0>y>-l, 

 valeurs pour lesquelles l'intégrale susdite deviendra illusoire. 



Supposons maintenant |i/|>l et y différent de — 1, nous aurons ce développe- 

 ment en série ^{x): 



s = œ 



3£(^,y)=^^~, 



7=0 y 



(58) 



valable pour une valeur finie quelconque de x. 



De plus, des intégrations par parties donnent cette série de factorielles : 



s = <x 



\~' s! 1 



X (x, y) =^ x(x+l)....(æ + s+l) ' (y+l)»+i ' ^^^^ 



s = o 

 convergente dans toute l'étendue du plan des .r, à l'exception des points isolés 

 0, — 1, — 2, — 3, , pourvu que ty-l-l|>l, et dans le demi-plan déterminé par l'in- 

 égalité !!R(.r)>0, si nous avons particulièrement |y^l| ^ 1 mais y différent de 0. 



Appliquons maintenant les formules de transformation (38) et (38 bis), il sera 

 possible de passer de (58) à (59), pourvu que | y | > 1 , tandis (39) deviendra illusoire 

 pour \y\ = 1; quant au passage de (59) à (58), la formule de transformation (42) 

 n'est pas applicable dans le cas particulier \y-\-l] = 1. 



Posons encore : 



lo 



Xn{x,y) = \^~:^^-,dt, (60) 



OÙ n désigne un positif entier, la formule générale (22) donnera ici : 



3=11 — 1 



X„(x,y) =^9{,,„(y).(-'-'7^) f ("7"^')-.ï(-r,y), 

 où nous avons posé pour abréger : 



D K U. Vidensk.Selsk.Skr . 7. Riekke. nnturvidensk og mathem AIU II 2 12 



(61) 



