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et où nous avons posé pour abréger: 



ou bien, sous forme d'une intégrale définie: 



(5) 



TT / (n + 2i/) ,1_, 

 Cela posé, nous aurons aussi un développement de cette forme: 



s = go 



f(aßx) = rip) ■^{p^-s)AP''(a)PP''(ßx), (6) 



s =0 



convergente pourvu que « < /■ et que ßx soit situé à l'intérieur de l'ellipse (3j. 

 Multiplions ensuite par 



Pf''"(x){l—X^)P-i 



les deux membres de (6), puis intégrons de .v= — 1 à a- = + 1 , il résulte, en vertu 

 de (5) et § 28, (3) ce développement: 



(7) 



.F{u+n + s, -s, p + n + l, ß') ■ A'^' " + ■'" (a) 



qui est vrai pourvu que «[<r et que ß soit situé à l'intérieur de l'ellipse (3). 

 Posons particulièrement dans (7) ß=l, il résulte: 



Cherchons ensuite dans les deux membres de (2) les coefficients de la puis- 

 sance a-", nous aurons cet autre développement : 



S = 00 



n\ a,, ^^-J s! 



s = 



qui est valable aussi pourvu que \a\<ir. 



Il est bien remarquable, ce me semble, que les formules ('/), (8) et (9) sont 

 valables quelle que soit la série de puissances (1) que nous avons prise pour point 

 de départ. 



Considérons comme premier exemple la série § 24, (10); nous aurons 



«„ = '^, A'""{a) = /"(_J)^ ./" + '■(«), 

 d'où ces trois formules très connues'): 



') Voir mon Handbuch der Zylinderfunktionen, pp.275, 273; 1904. 



