53 291 



r(2.+n+i) r(.+i)(4 + |)) 



puis mettons-y successivement n = O, 1, 2, 3, 4, , une addition de toutes les 



formules ainsi obtenues donnera, en vertu de (2), ce développement en série 

 neiimannienne: 



dont le cas particulier v = 0, /= 1 appartient à Catalan^). 



Appliquons ensuite à la formule (7) la méthode précédente, il résulte cette 

 autre représentation intégrale ; 



^ -p , , ,, • \e-"=-?^^(^sin<.lP^ + --"(cosî.)c/^ = , (8) 



Combinons maintenant les formules (1) et (7), il en résultera cette autre: 



-»^ „— t cos < 



' .1 I f I I 1.^ m I ^ I I I tu 



(9) 

 VI — zæ cos w -\- X- 



qui est, je crois, nouvelle. 



L'analogie entre la série qui figure au premier membre de (9) et la célèbre 



fonction de Kramp: s=x 



v~'(_ns 3-25+1 



saute aux yeux. * " 



§ 29. Sur la série neumannienne obtenue pour /(«.*■). 



En terminant ces recherches, nous avons à développer encore quelques pro- 

 priétés générales d'une série neumannienne. 



A cet effet, supposons égal à /• le rayon de convergence de la série de 



puissances ... , 



t{x) = a„ + a^x + a^x- + a.^x^ + • • • , (1) 



puis désignons par a une quantité finie telle que \a\ < r, nous aurons une séiie 

 neumannienne de la forme suivante: 



V^ jtx)' _ J^ (»" e-^'^°^y jy^cosy^jsiny » 

 ^ s!(2s+l) ~ 2 'X [^l—2xcos<p^x^ ^' 



f(ax) = fi'^) ■ y^ {,,-^s)A'''{a) ■ P'''{3 



(2) 



qui est convergente à l'intérieur de l'ellipse 



+ / . Ul^. = 1 ' (3) 



\ 2\a\ ' 2r I \ 2'a\ 2r I 



'} Sur les fonctions A'„, p. 14. Mém. de l'Acad. de Belgique, t. 44; 1881. 



