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2". Appliquons la formule § 24, (10), il résulte pour la fonction cylindrique 

 de premières espèce cette représentation intégrale : 





(2) 



ce qui n'est autre chose qu'une généralisation de la formule célèbre de Bessel '), 

 obtenue de (2) en y mettant n = 0. 



Il est à remarquer que M. O.-A. SiViiTH-) a donné récemment pour la même 

 fonction cylindrique une expression intégrale de la même forme que (2) mais con- 

 tenant la fonction 0"'" (cos çr). 



3". Pour la fonction hypergéométrique particulière introduite dans la formule 

 § 25, (1) nous aurons de la même manière cette expression intégrale: 



^}^;l^^-^i^ ■ Fir + n-s, -s, . + 2.-2. + 1, x^) = 



1!:J:L^_1z1'1!jQ!L^ . rP^''''(.rcos^.jP^.«-"(cos^)(sin^)-rf^. 



(3) 



;rr(n + 2y) --o 



4". Appliquons ensuite la formule § 27, (5), il résulte pour la fonction méta- 

 sphérique générale une expression de la forme 



(4) 





Vn r(n + 2v) ^_^ 

 ce qui donnera pour 1^ = 4^, /s = 1 l'intégrale de F.-E. Neumann ä). 



5". La formule § 26, (61 donnera de même cette formule remarquable: 



P>^-h^{x) = r(2i/4-"+l) . W.r + COS f ■ l/.x^^l )" (sin <f) ■'" d<p , (5) 



n\ r(.+ i)(r(. + |)) •'« 



d'où, pour !/ ^ 0, la célèbre formule de Laplace*). 



6". Nous avons encore à appliquer la série §26,(7), d'où : 



P''+''"W _ r(2u + »+l) r (sin ,f)^-Ui^ 



ce qui donnera, pour v = 0, la formule de Jacobi^). 



Cela posé, écrivons maintenant sous cette forme la formule (5): 



') Voir mon Handbucli der Zylinderfunktionen, p. 51 ; 1904. 



-') Dans un mémoire qui paraîtra prochainement dans le üiornale di Mateniatiche. 



') Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen, p. 1 ; Leipzig 1878. 



') Heine: Handbuch, t. I, p. 35; 1878. 



^) loc. cit. p. 36. » 



