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de sorte que la formule différentielle § 6, (9) donnera immédiatement la formule 

 cherchée '): 



(6) 



^^ ^ i/;r ié^ r(2.+„+s+i)- 



d'où pour 1/ = 0, .r = cos f cette formule célèbre ^) : 



s=n s 



(a + cos f V^a^^y = n ! ^ '' (n+7)? ' ^'' ^"' ("' ' ''°' ^'^^ ' ^"^^ 



où il faut admettre s^^ 1, mais généralement pour s >^\, sg " 2. 



3". h^=\/d^ — 1, p -= — 7) — l + 2y, où n désigne un positif entier. La formule 

 § 15, (5), donnera, en vertu de (4) : 



(8) 



1 _ n ! r(L;)(a^— 1)-" V^ (— 1)^(!. + 5) r(» + s + 2v+l) 



(a + .,'i/^2:rî)n+i-2. (r(2.4-/H-i))"^ "fé (a''-i)f 



d'où, en mettant u^O, r = cos^, cette formule célèbre^): 



_ '1L==^ -_- y tzDllA^pi. . n,^ P" (a) . cos is ,) , (9) 



(«+COSÎ. . Va'-ir^' frt, (a^-i)l 



où £s a la même signification que dans (7). 



§ 28. Sur quelques formules intégrales. 



Après avoir donné dans les paragraphes précédants une suite de séries neu- 

 manniennes plus particulières nous avons à appliquer à de telles séries l'expression 

 intégrale §25, (5) pour le coefficient général A„, procédé que nous conduira immé- 

 diatement à des généralisations d'une suite de formules connues. 



1°. La formule § 20, (2) donnera : 



2-^"-' •(.+/!)( rM)^n! Cp-'"(c os^) (sin^)-^' -^^^^ ^^^ 





n r(n + 2i/) Jn (1 - ^'^ ^o^ V + ^■''') 



où il faut admettre 9î (v) > 0. 



1) Heine: Handbuch, t. I, p. 454; 1878. 

 •') loc. cit. p. 200. 

 ä) loc. cit. p. 204. 



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