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où il faut admettre Ift] >|a', de sorte que l'ellipse de convergence de la série 

 neumannienne correspondante a son plus grand axe égal à 



2\\ a\^\ h\)' 

 tandis que le coefficient général de la série susdite 



(a + bx) -P ^ r(0 . ^ {s i-,)As-P'''' (.V) (2) 



s = (I 



se détermine comme il suit: 



" '^ s\r(v + p-^s + l)2P + "-' '[al 



ou, ce qui est la même chose: 

 A (-l) ^a-^-/>(fi+l)---(/>+p- l) (by Ip+p p+p-^l bn 



P ~ 2p ■ r(v+/)-Li) • \ä) M 2 ' 2 ' "+1^+^' ^W' i'V 



d'où, pourvu que p ne soit pas égal à zéro ou à un négatif entier: 



_ ( -l)Pa-p-PbP r{p+p) ip+, p+f^+i ftn. 



"^^ ~ r(,o) r(.+p+I)^" ■ ^^^ ' "^ ' '^'^^^ ' "'^ ' 



appliquons ensuite la formule § 5, (6), il résulte finalement cette formule élégante: 



ia + bx)-P = ^^]~'-^"l • X(-l)' (2''+2s) 0.''-^'-^^-/'+''(y) • P^--^-(.r) (4) 

 rirOlTrb" f~^ ^ 



qui nous permet de déduire immédiatement d'autres formules plus particulières 

 que l'on démontre ordinairement en suivant des méthodes très différentes et peu 

 systématiques. Nous avons à considérer ici les cas particuliers suivants de (4j : 

 1". o = y, ft = — 1; il résulte la formule intéressante: 



(y-x)P r{p)Vn frt 



due à Gegenbauer'); l'hypothèse ,o = 1 nous conduira à la formule §24, (2) de 

 Heine, tandis que l'hypothèse ^ ^ 2v nous conduira à une autre formule intér- 

 essante. 



2". b = \/d'- — 1, p = — n, où n désigne un positif entier. Ici nous avons à 

 appliquer la formule (3), ce qui donnera: 



^" in-p)\r{.^p^\)2V ^2 ' 2 '^+P+1' „■-.). 

 d'où, en vertu de § 15, (5): 



') Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematili, t. 23, p. 513; 18i)l, 



