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1°. p = v-^p, où p désigne un positif entier. La formule diflërentielle §6, (9) 

 donnera immédiatement: 



Sî 



(3j 



■^ r(y+n— s-1-1) V s ; '^ ''' 



dont le cas particulier v = iç , p = l appartient à Christoffel*). 



2". /> = ou ^ = 1. Les formules § 20, (5) et (7) donnent respectivement ces 

 deux développements intéressants: 



2cos(nW) ,,, . X^(— l)-'(i> + 7i-2s)(n— s — 1)! / i^ \ „ 



= ij 



<-" 

 sin(, 

 sin 



TÏÏT^ = ^^"^ -2. rV + n-Al) • s • ^^■"-^^leos.), (5) 



s = Il ' 



dont le cas particulier v = | était connu déjà par Legendre'^) et Laplace*); 

 posons encore dans (5) v = 0, il résulte une formule élémentaire très connue. 



3°. 1/ = 0, 1/ = L Pour obtenir les formules inverses de {4) et (5) mettons 

 dans (2) u = ou i/ = 1, ce qui donnera respectivement: 



P^'"(cos«) = (-\Y ■ ^ cn-2s ■ (~/'] (j^g) ■ cos(n — 2s)^ (6) 



s = U 



P^''" (COS«) Sin /y = (-1)« -^"„^/nr/ • (7') (i-s) • sin(n-2s + l)#; (7) 



s=o ' \/\ 



dans (6) il faut admettre comme ordinairement s^ = 1, mais généralement Sg = 2, 

 pour s > 0. 



§ 27. Développement de {a-\-bæ)—P. 



Pour donner une autre application du théorème général de C. Neumann, con- 

 sidérons cette série de puissances: 



s = X 



(a + bx) -P = y^ (-P\ a-f-' ■ b' x' , (1) 



s = u 



') Thèse de doctorat; Berlin 1856. 



-) Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, t. II, p. 702 ; 1904. 



») Id. 



» K. II. Viilensk. Selsk, Ski-., 7 R.-L-kke. naturvideobk. .)s iniillieni. Afil. II. 5. 38 



