286 48 



Considérons par exemple la fonction 



/■(..■,= ' 



l'ellipse (1) correspondante a l'équation 



5 ' 1 

 et cet exemple montre clairement (|iie le théorème de Neumann n'est pas applicable 

 seulement pour les séries de puissances (7) mais qu'il a une portée beaucoup plus 

 étendue. 



Considérons encore la fonction exponentielle; il en résulte cette série neii- 

 mannienne: 



e«x.- = /-(^j j'-^V. y^i»(i/ + s)-^' + -'''(«) • /'"••"'(.v) (lu) 



qui est convergente pour des valeurs finies quelconques de « et x. 



La formule générale ( 10) appartient à feu M. Gegknbauf.r '), tandis que les 

 cas particuliers 1^ = 0, y = 4^ ont été trouvés respectivement par Jacobi ') et par 

 M. Bauek^). 



§ 26. Développement de PP- " («.r)- 



Comme première application du théorème général que nous venons de 

 démontrer, nous avons à considérer la série finie obtenue, en vertu de § 24, (8), 

 pour le polynôme P'''"{ax). Nous aurons inimédialemenl ; 



SI 



'"•• " *"•) = rg ■ X <-■>■('+ '-^■" ■ ..ir?+l;-"2;'+ r) ■""-'■■ (!) 



•F(/j-f ;! — s, —s, i; + ;j — 2s + l, a") ■ P<'' "--" (x) , 



où F désigne la série hypergéométrique ordinaire. 



Posons particulièrement dans (1) « = 1; la formule de Gauss 



donnera cette formule élégante, que je crois nouvelle: 



pp.n(^._m y (-l)-(.^ + n-2.)r(^ + n-s) ('>-."] .p..., -..u.^ (2) 



s = U 



et dont on peut déduire une suite d'autres formules plus particulières parmi les- 

 quelles nous avons à étudier les suivantes: 



') Voir mon Haiidljucli dc-r Zylinderfunktionen, p. 277; 1904. 



