47 285 



Cela posé, introduisons dans l'intégrale curviligne qui figure au second 

 membre de (2) le développement ,^ 24, (2), il résulte une série de celle forme : 



s = ao 



f{x) = r(v) . ^ is^,)As ■ P''-' (;v) (3) 



qui est convergente à l'intérieur de l'ellipse (1), tandis qu'il faut admettre: 



^" = ^ • 2^7 • *i ^^""^' "+"'^' (.'/) /(y) dy- (4) 



V~ ^^^ «'(j 



Appliquons ensuite la formule intégrale ,§ 22, (5), il résulte, en vertu de (3), 

 pour An cette autre expression : 



n! 77^)2^"^' V'^ 

 ^" = ;^TT(n--f 2.) ' )mP'''" m^- ^^-'^ ä.r , (5) 



ou bien, à l'aide de § 22, (2): 



A., ^ , . r(2n + 2^ • S/;" (-^^ (1 - ^^) '^ + " - ^ ^Z-- (6) 



Il est évident qu'il faut admettre généralement dans (5) et (6) que SR(i/)> — i. 



Ces résultats obtenus, nous avons démontré ce théorème général de C. Neu- 

 mann ') : 



Supposons holomorphe â l'intérieur de l'ellipse (1) la fonction f(x), les formules 

 (3), (4), (5) et (Ô) nous donnent le développement de f(x) en série de fonctions P''-"{x), 

 série qui est convergente à l'intérieur de l'ellipse susdite. 



Considérons encore particulièrement le cas, où f{x) est holomorphe à l'inté- 

 rieur du cercle \x\=p, /s > 1, puis mettons: 



f(x) = ao+ a, .1- + a2.v-^+ ag.rs-f ..., \x\<p (7) 



la formule (4) donnera immédiatement pour le coefficient général An cette expression 



" ^ 2'' + 2*.s! fh + n- 



(8) 



Inversement, supposons convergente la série (3), nous aurons une série de 

 puissances de la forme (7), où le coefficient général On se détermine comme suit 



«n = ^j^^^ • ^ (-!)»( ^ ]^ j • (i> + n + 2s) ■ A„ + 2s , (9) 



série qui est convergente à l'intérieur du cercle |x| == a- — 1, pourvu que l'ellipse (1) 

 soit l'ellipse de convergence de la série (3). 



') Ueber die Entwicklung einer Funktion mit imaginärem Argument nach den Kugelfunktionen 

 erster und zweiter Art, p. 10; Halle 1862. 



