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lermes qui conlieniicnl la même l'onction ultrasphériquc /^""(.x), il résulte un 

 développement de cette forme : 



Pour démontrer maintenant d'une manière rigoureuse la formule {2), mettons 



s = x + l/a.-2-l , vy = y±l/y"~l, (3) 



où c et rj sont à déterminer de sorte (pie | f | > 1, |)j| > 1; les formules démontrées 

 dans les §§ 12, 16 donnent immédiatement cette proposition fondamentale dans les 

 recherches qui nous occupent ici : 



La série infinie qui figure au second membre de (2) est absolument convergente, 

 pourvu que lc| > 1, |)?| > 1 e^ |f | < \rj\. 



Cela posé, nous avons à déterminer la somme de cette série absolument 

 convergente. 



A cet effet, mettons y = 1 :z et dilTérentions n-\-\ fois par rapport à z la série 

 ainsi obtenue, ce qui est permis; nous obtenons en mettant ensuite x=0 précisé- 

 ment l'expression qui figure au second membre de S 22, (11), c'est-à-dire la puis- 

 sance æ"; telle est la démonstration rigoureuse de la formule (2). 



Posons particulièrement dans (2) v=^~; la formule ainsi obtenue est due à 

 Heine ') ; dans le § 27 nous avons à donner une généralisation remarquable de (2). 



Considérons ici quelques autres cas particuliers de (2); posons d'abord v -- 0, 

 il résulte: s = oo 



''^ 0'''-Hy) • cos (SX)' (4) 





où il faut admettre s^= \ mais généralement, pour s > 0, £« = 2. 

 L'hypothèse v = \ donnera de même cette formule analogue : 



s = 00 



£HL£. ^ -t= . 5^(5 + 1) ■ (>»'» + Hy) • sin(s4-l)x'. (5) 



y-oc I/tt ^, 



§ 25. Théorème général de C. Neumann. 



Considérons maintenant une fonction f{x) qui est holomorphe à l'intérieur 

 de l'ellipse, pour a= ç + z;j, 



a"- ' a^-l ^ ' 



(pii a ses foyers dans les points (±1, 0), et dont la circonférence prise dans le sens 

 direct e.st désignée par (£; le théorème fondamental de Cauchv donnera: 



') Handbuch, t 1, p. 1!)7. 



