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P^- " (COS .) = ^^^^f" • F(^ , ^" + ., . + I , sin^ ^) , (13) 



de sorte que les hypothèses y = O, y = 1 donnent ces deux groupes de développe- 

 ments classiques: 



cos(nW) = li-1, 2, -\, sln=/y) (14) 



cos(n/y) = cos II ■ f(^", ^4^, ~, sin^ö) (15) 



sin(;)+l)^ = (;i + l)sinW • f(— "-, y-M, y. sin"«) (16) 



sin (n -r 1) /^ = (n + 1) sin H cos H ■ /•'(^' , ^' , 4 . si»' ^) (17) 



5". Remarquons enfin que les formules §18,(6) et §6,(9) donnent immédiate- 

 ment ce développement en série de Taylor: 



P^'"(l + x-) = ^'^|^-F(-n, n + 2., v + |, -|-), (18) 



il résulte, pour .!• = — 2sin-i^«, la formule nouvelle: 



P^,"(cosW) = ^i^ • F(-n, /i + 2., .+ |, sin'4#) , (19) 



d'où pour v=0, 1/ = 1 les deux formules (14) et (16) qui correspondent à une 

 valeur paire de n. . 



CHAPITRE IV. 



Les séries neumanniennes. 



§ 24. Développement de Heine pour 1 : {t/~æ). 



Dans le § 20 nous avons développé une série de puissances particulière selon 

 des fonctions P; pour étudier le développemenl analogue d'une série de puissances 

 générale, nous avons tout d'abord à développer dans une telle série la fonction 



A cet effet, appliquons à tous les termes du second membre de (1) la formule 

 § 22,(11), nous aurons une série à double entrée J. Or, supposons pour un instant 

 qu'il soit permis de ranger les termes de J de sorte que nous réunissions tous les 



