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1". La formule §11,(11) donnera pour r = /sinW ce développement: 



(—ly. 22" . r(v+2n)(sin#)-'' ,,/ , i , ., l \ /1^ 



p>',^«(C0S<^) = ^-^ ^(,)\2.)! ■ ^'(~"' -^-"+ 2' 1-"—^"' sin^-J: W 



d'où il résulte pour i; = 0, v = 1 les deux formules plus particulières 



cos(2n^) = {-l)"2-''(sinW)-" ■ F[-n, -n + y, 1-2", ^^) (2) 



sin (2/1 + 1)^ = (-l)"2^"(siuW)'-^" + ' • f(-/i, -«-y, -2n, ^.^^.^). (3) 



2". Posons dans % 12, (5) x = e'", puis remarquons que les coefficients aux 

 indices p et 7J — /; de la série hypergéométricjue qui figure au second membre sont 

 égaux, nous aurons sans peine la formule 



d'où, en posant i> = 1, la formule élémentaire très connue: 



sin (n -}- 1) \ ' / r, \ ^ /(i^ 



- , '„ ^ - = > cos ;j — 2s)^. (5) 



sin .^m^ 



s = u 



3". La formule § 13, (8) donnera dans ce cas particulier 



,.•+.)". p- (■=5) = StS-' ■'■■(-"• —"+i-+^'^^-)' "" 



d'où, en mettant a'^= tg ^6 



formule dont le cas particulier v = \ appartient à Murphy; posons encore v = 0, 

 il résulte: 



cos(/j#j = (cos|4'" ■P(-''^ -" + !' T' -tg'y'^)' ^^) 



tandis que l'hypothèse v^l donnera de même: 



^sin^ = ("+1) (cosy#) ■I<[-n, -/i-y, y, -tg''-^-«)- (9) 



4". Appliquons ensuite les formules § 14, (0), (12), nous aurons respectivement: 



d'où pour a; = sin*ö: 



