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[ fix) P "• " (.1.-) (1 -x^-'i dx = ^/^(n + 2v) 



d'où, en vertu de (2), cette autre expression: 



«" = .r(2.Vt)^^ • S/:"'(-^-' '1— ')^+"-M/.v. (10) 



Posons par exemple f{x) = .r", une représentation de la forme (8) est évidem- 

 ment possible, et la série correspondante deviendra finie en se composant des n + l 

 premiers ternies seulement; appliquons (10), et des propriétés très connues de la 

 fonction gamma et de l'intégrale eiilérienne de première espèce, il résultera la 

 formule cherchée: 



• <" 

 ni r{v) \^ n — 2s + v 



X" 



2" 



s = 









qui peut être déduite immédiatement aussi à l'aide de S 17, (8). 



7°. Considérons encore la formule S 19, (4), puis remarquons que le produit 

 L"'" {x) ■ P"'" (x) est une fonction impaire de x, la formule (5) donnera ce théorème 

 qui est nouveau, je crois: 



Supposons 9} (f) > — -„ , puis désignons par n et p deux nombres entiers, nous 

 aurons: 



\ Q "• " (x) • P'' " + ^P [x] (1- .r^) "- ^ dx = (— l)"i/«-3r (n + 2i^) :j:,^,- (12) 

 -1 I (2!/ + 2n)-nTr(i') '^ 



selon que p ^ ou p = 0. 



En eifet, nous savons, en vertu de §7,(11) et §19,(4), que les deux integrales 

 définies 



\ C>^'"(.v) • P'-''" + -P(a-)(l-x'-)''-^f/.r, \ L'-''"(x) ■ P'-''" + ^P (x) (l-x^')"-'^ dx 



ont un sens toutes les deux avec la restriction susdite concernant la valeur du 

 paramètre v. 



Or, l'existence de notre formule (12) montre clairement que la coupure de 

 Heine qui supprime notre chemin d'intégration n'est pas admissible. 



§ 23. Développements divers de P"'"(cos 0). 



Pour mettre en pleine lumière la propriété que possède la fonction ultrasphé- 

 rique P^'" {cosd) d'être une généralisation des fonctions trigonométriques, il nous 

 paraît utile de réunir dans un paragraphe particulier les développements divers de 

 cette fonction qui peuvent être déduits des formules générales que nous venons 

 d'établir dans le Chapitre II de ce Mémoire. 



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