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de laquelle nous avons à déduire une suite d'autres résultats, dont la plupart sont 

 très connus mais démontrés à l'aide de procédés très difTérents. 



1°. 1^ =, 0, .r = cosW; un simple calcul nous conduira à cette formule 

 remarquable due à Jacobi'): 



^'/■(cos Ü) cos (n H) dO = 1 . 3 . 5 , ^ (2/1 - 1 ) ' f^"" ^"^"^ ^^ ^^'" '^^"' '"^- ^^^ 



2". !/ = l, .T = cos W et n — 1 au lieu de n; nous obtenons la formule 

 Ç /■(cos 0) sin (n li)cos.Hdf) = " (2n—l) ' \ /"'""'' (cos H) (sin W)^" d/y (4) 



qui est analogue à celle de Jacobi. 



3°. La formule (2) donnera immédiatement ce théorème essentiel: 

 Supposons que f{x') soit un polynôme entier de x d'un degré égal à n — 1 au 



plus, la valeur de l'intégrale (1) est égale à zéro. 



4". Posons particulièrement /(.i) = P'''''(.x), nous aurons: 



d'où, en vertu de (2), cette formule singulière: 



\P'''"(a-)P''''"(.T)(l— .v'0''-'f/.r = n-r(7J + 2!/) , (5) 



2ä^->.(, + n) -n! (Tf.))^ 



selon que r ^ n ou r = n; le cas particulier u ^ ^ appartient à Legendbe^). 

 5". Mettons dans (5) i/ = 0, a; = cos ^, il en résulte la formule d'EuLER: 





 cos{nß)co9,(rH)dff = ^ ;r , (6) 



"Ö 1 y 



tandis que l'hypothèse u = 1, x = cos fi donnera de même: 



r 



«"n 



\ 



sin [n 0) sin {r H) d ß = j n- , (7) 



2 



formule qui est également due à Euler. 



6°. Supposons que la série infinie ou finie 



f{x) = ri,) -^a, ■ p'^'-^x) m 



soit convergente dans l'intervalle — l<cc<-|-l et intégrable terme à terme de 

 x = — 1 à x^-}-l, il résulte, en vertu de (5), cette détermination du coefficient 

 général a„: 



') Journal de Grelle, t. 15: IS36. 



'') Histoire de 1 Académie de l^aris 1784, p. 373 et 1789, p. :i84. 



