88 32 



vergento. Pour démontrer aussi la convergence de la seconde des séries (/9), re- 

 marquons que la série de puissances 



est intégrable terme à terme; un théorème très connu') donnera, en vertu de la 

 seconde intégrale (53 bis), cette formule intégrale : 



^«.•(...(x + s)-l.^-)==W-^4^+^-l-l),(0^^-V/, (54) 



s = 11 ,) 



ou, ce qui revient au même: 



^a,-wM + s)^'^^.%{x) + \A^,^_^--^-v\)f{e-')e~'^dt, (54 bis) 



où il faut supposer généralement 3{(.t)>0. 



Appliquons maintenant l'identité suivante: 



«.(,x-) = ,^,(.r+l)+log(l+M-J;; 



nous verrons que la série infinie figurant au premier membre de (54 bis) est con- 

 vergente encore, pourvu que 9î(a;) > — 1, et ainsi de suite. 

 Cela posé, nous aurons évidemment : 



{ g {X) dx - ^as- log (^^-^ ) , (55) 



tandis que nous pouvons admettre: 



^"Vii = r(.T + s)-log(S+l) = log(^)-,..(x + s), 



ce qui donnera ce théorème intéressant: 



Supposons coiwerçieiite la série "Ï^Çx), il est possible de déterminer une valeur de 

 J~'^^{x), telle qne: 



U(x-)dæ- J-' ;\-(æ) =^'«.- • '",(-r + s), 



*Ji s = Il 



(56) 



ou bien, sous forme d'une intégrale définie: 



V^{x)dx-A-' Tiix) = \ (^j-y + l)<f{e-')e-'-dt ; (56 bis) 



dans celle dernière formule il faut admettre généralement îh'(.r)>(). 

 ') V. HiNi: Grundlagen etc. p. .'J21. 



