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ß{x) + {ß(x+l) =_^, 

 ce qui donnera: 



Jß(x) =^ — 2ß(x), 



où, ce qui revient au même: 



S= 00 



J- ' ß (X) = l ¥{x) - \ -^^^^ + » (.r) , 



s = ü 



quoique la série qui correspond à (a), savoir la série 



l-1 + l-l + l-.., 

 ne soit pas convergente. ' 



§16. Applications de la fonction (o^{x). 



Considérons maintenant à un autre point de vue les fonctions D~ (S) (a*) et 



J~'®(x), où ®(.r) est supposée développable dans une série )^{x) 



A cet elTet posons : 



fu,(.x) = logx — r(a;); (53) 



une formule intégrale due à Cauchy') donnera, ' 



'"'^^^•^ - ^+[(jh-j+^y'^" -fx+[(Y^i-^ïàt^^y'^~''*^ ^^'"^^^ 



où il faut admettre 9{ (x) > 0. 



Cela posé, il est très facile de démontrer la proposition fondamentale suivante: 

 Supposons convergente la série 



^(x)^yt)t^-^dt^2^^^, 



les deux autres séries infinies 



^a, ■ log {^-\) ' ^«» • «^.'^ ^ *) - ^ß^ 



seront convergentes aussi. 



Quant à la première des séries (/?), le développement très connu 



, /x + s\ 1 1— X 1 (l — x\\ 



nous conduira immédiatement au but, parce que la série numérique ^(1) est con- 

 ') Voir la note p. 39. 



