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(50) 



où C désigne la constante d'EuLER , les formules (49) s'écriront sous cette autre 

 forme plus élégante: 



J-'@(a;) = ^l^fM^dt-\-^s{x). (51 bis) 



§15. Développement en série 5(x) de J &{x). 



Quant aux développements en séries ^ni^), nous avons démontré, dans le 

 § 2, ([u'il est possible de déterminer un positif entier fini n, tel que J"(^{x) 

 devienne développable en série J'sni^)- Pour les deux fonctions 



Dx(s>,(x) et '^(f^(x)dx, 



les formules précédentes montrent immédiatement la vérité de cette proposition : 



La dérivée et l'intégrale indéfinie d'une fonction W(.i") ne sont jamais développables 



en séries 5n(.i-')- 



Quant à l'intégrale finie ^-'(M(.r), nous aurons, au contraire, en vertu de 



(49 bis), ce résultat : 



Supposons finie et déterminée la imleur de f{t) pour t = l, et supposons de plus 



que la série de puissances 



^[<p (1) - (a,+ a.+ a,+ ....+a,)\-t' (52) 



soit intéf/rable terme à terme rfe / = à / = 1 , nous aurons ce développement en 

 série ^(x): 



j-^&ix)~,pii).m+:s{x) = y£(i)zzK+ «.+«»+ • • • • ±«^) . (52bis) 



Dans le cas particulier, où la série numérique 



f{\) = a„+ a,+ a,+ a,-!- . . . . («) 



est convergente, les coefficients de la série T^(x) figurant au second membre de 

 (52 bis) ne sont autre chose que les termes de reste de la série (a) ; cependant la 

 convergence de (a) n'est pas nécessaire pour rendre convergente la série ^(x) susdite. 

 Considérons par exemple la fonction ß(x) introduite dans (25), nous aurons 

 immédiatement: 



