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nous aurons cvidemmenl les deux autres représentations intégrales suivantes, très 

 semblables entre elles et applicables là où est applicable l'intégrale donnée W(-r): 



Ö^Cs5(x) = W(0•log^/^""'rf/ (44) 



•o 



J®(x) = — *j^(0-(l— 0-'^~'cf', (44 bis) 



d'où ces expressions analogues pour l'efTectuation des deux opérations inverses: 



\ ®(x)dx = L(/) • ^"^"^~ ^ dt + K (45) 



J-'(^(x) = W(0- Y^^' df + ^(x), (45bis) 



où K désigne une constante arbitraire indépendante de x, tandis que ^s{x) est 

 une fonction quelconque de x soumise seulement à la condition de périodicité 



Cs(a-+1) = :s{,x). (46) 



Cela posé, on voit qu'il est possible de simplifier les deux formules (45) dans 

 le cas particulier, où la fonction génératrice <p{t) satisfait à cette condition 



lim ((1— 0~''-c-(l— /)) = Ü, (47) 



(=+0 



où À désigne une quantité positive finie aussi petite qu'on le veut, mais d'une 

 grandeur assignable ; nous aurons en elfet dans ce cas les formules plus simples : 



[&ix)dx -{øl- 1""' dt+ K (48) 



J-i@(x) = _\^^./— V<+3(x). (48 bis) 



Supposons plus généralement que (f{t) ait, pour / = 1, une valeur finie el 

 déterminée <f\l), nous aurons ces deux autres formules: 



^®(x)rf.r =^(l).logx + ^^^^^^^.r-'rf/ + A- (49) 



j-'(a(x) = f{l)-n^) + Y^^lzf '-t"^'d( + ^i^)' (49 his) 



«.'o 



où f\x) désigne la fonction de Gauss, introduite dans (5), ce qui est une conséquence 

 immédiate des identités: 



Dxlogx = J^(x) = ;^ = [[''-' dt. 



X i)o 



Cela posé, appliquons les deux représentations intégrales suivantes : 



