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Or, je (lis (|iu' l'identité ('ÀD peut être i)ossit>le, (]ii<)i<iiie l'expression (/ènérnle (42) 

 pour les coefficients A,., „ devienne illusoire. 



Pour illustrer aussi ce postulat par un exemple, posons n ^ et 



bs = (-in 

 nous aurons ces deux développements : 



SI s — ÛD S =00 



2~t ^ x(x+l)ix + 2)....{x^s) ^x^ 







9s+r 



(43) 



c'est-à-dire : 



Ar, u = -,^n^ ; (43 bis) 



néanmoins la formule générale (42) nous donne ce coefficient fini et déterminé 

 sous la même forme illusoire (41 bis). 



Ces résultats particuliers sont d'un grand intérêt à une époque où nous ne 

 possédons aucune théorie exacte et développée des séries divergentes, parce qu'ils 

 montrent que les séries à double entrée ne suffisent pas pour l'étude générale du 

 développement d'une fonction analytique dans des séries de fonctions analytiques 

 données. 



Pour l'instant je ne connais pas d'autres développements que ceux qui figu- 

 rent dans (37) et qui présentent cette singularité; par exemple, dans mes recherches 

 sur les séries de fonctions ciilindriqnes^) ou de fonctions hernoulliennes''), les séries à 

 double entrée donnent la théorie complète des développements de ces genres. 



VI. 



Les fonctions D~^<S(x) et y^(S(x). 



§ 14. Formules intégrales. 



Il est digne d'intérêt que les séries ^(æ) et les intégrales &{x) soumises aux 

 opérations fondamentales de l'Analyse et du calcul aux différences finies nous con- 

 duiront à des résultats analogues, ce qui est assez rare en effet dans la théorie des 

 fonctions analytiques. 



En premier lieu jjrenons comme point de départ cette intégrale (^(a-): 



@(x) = jjV(0/^-'rf/, 



') Handbuch der Theorie der Cylinderfunktioneii, Leipsic 1904. 

 '} xMathumatische .\nn;ileii (sous presse). 



