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expressions correspondantes oblenues de (38) , nous aurons une série à double 

 entrée J. Supposons ensuite qu'il soit permis de ranger les termes de J, de telle 

 sorte que nous puissons réunir tous les termes contenant la même factorielle dans 

 le dénominateur, nous aurons pour le coefficient général bs cette expression : 



.S= QC 



bn+r = {-lf-^(j'^/)Ar+s,n, (39) 



s=0 



OÙ r désigne un entier non négatif, tandis que nous aurons : 



ft„_r = , < r < n . (39 bis) 



Posons dans (37) n = 0, puis cherchons la différence du n-ième ordre des 

 deux séries ainsi obtenues, nous arrivons précisément à la formule générale (37), ce 

 qui s'accorde bien avec la forme singulière du second membre de (39) qui ne dépend 

 de n que dans les coefficients Ar+s. n ■ 



Or, je dis que l'identité Cal) peut être possible, quoique l'expression (39j pour les 

 coefficients b^ devienne illusoire. 



En effet, posons, conformément à notre remarque concernant le nombre n, 

 n = 0, puis mettons : 



As.o = (—1)', 

 nous aurons pour la fonction ß{.v) introduite dans la formule (25), ces deux dé- 

 veloppements : 



^^"' ^ JrU's -2^^(^+r)^h^:r^^ ■ ^ ' ^*'^ 



5=0 s=0 



c'est-à-dire : 



1 



^•■^a^; (41) 



néanmoins la formule générale (39) nous donne ce coefficient fini et déterminé sous 

 la forme illusoire: 



s = 



En second lieu, supposons donnée la série de factorielles qui figure au second 

 membre de (37), puis appliquons les formules (38 bis), nous aurons de la même 

 manière pour le coefficient général A,-, n celte expression : 



s=u s=0 



dans le cas particulier n = 0, il faut supprimer la série finie qui figure au second 

 membre. 



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