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susdite est certainement possible, pourvu que <p(t) soit holomorphe à l'intérieur du 

 cercle \t\ = 2; mais généralement il semble impossible de donner sous une forme 

 simple les conditions siiffissantes et nécessaires qui doivent être remplies par une 

 fonction développablc à la fois en série de factorielles et en séries ^„(x). 

 En efïet, supposons vraie une identité de la forme 



V 



n\A,,n 



^ (æ+s)(x + s + l) ■••• (a; + s + 



s = 



n) ^ ■ x{x 



s! h^ 



+ l)(a; + 2)....(a; + s)' 



(37) 



où les coefficients As,n et ^'s sont indépendants de .r, puis chercherons à transformer 

 l'une de ces séries en l'autre, une telle transformation, présente des diflicultés, très 

 intéressantes dans la théorie générale des séries dont la somme et une fonction 

 analytique , et absolument inévitables pour le problème plus particulier qui nous 

 occupe ici. 



§ 13. Formules de transformation. 



Quant aux formules de transformation qui nous conduiront de l'une à l'autre 

 des deux séries (37), nous aurons lout d'abord : 



n! ^ V ^-^'^(s)("+^ 



(a; + r)(x + r+l).... (x+r + n) ^ x(x-[- 1) .... (.r + /j + s)' 



s = 



formule qui est une conséquence immédiate de l'identité intégrale 



Jo "'o 



nous aurons en etltt pour / cette expression nouvelle: 



(38) 



' -^^-^^i;)-S;""^^- 



/f '(//, 



et la définition intégrale de la fonction hela nous conduira immédiatement au but. 

 Quant à la transformation inverse de (38), nous avons les formules (4), savoir: 



1 



n x(a;-|-l) {xA-p) 



-r:\i% 



(s + l)(s-f2)....(s+n+p-l) 



s = p—n. 



x{xAr l)....(x + /)) 



-X, 



+ s)(x + s + l)....(æ + s+n) 



(a; + .s)(.T-l-s+l) .... (.r4-s+ ;>) 



(38 bis) 



où il faut admettre respectivement n'>p ou n<p. 



Cela posé, prenons en premier lieu comme point de départ la série (^nOi-") 

 figurant au premier membre de (37), puis subsliluons au lieu de ses termes les 



