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En effet, l'orieine des séries de factorielles doit être cherchée dans des inté- 



grales définies de la forme 



ß(x) •=-- [y^dj-t^ 



'd^ 



où la fonction génératrice ç>(t) doit être holomorphe aux environs du point / ■= 1 

 et cela de telle sorte que la série de puissances 



^(1-0 = b^-^bj+b„f+bj'+.... 



a son rayon de convergence égal à un au moins; de plus, ^(t) doit satisfaire à des 

 conditions ultérieures faciles à indiquer du reste et qui se trouvent énumérées dans 

 mes divers mémoires concernant la théorie des séries de factorielles'); M. Pinchkrle"'') 

 a indiqué sous forme plus élégante quelques-unes des conditions susdites mais sans 

 en altérer le caractère général. 



Au contraire, pour que l'intégrale définie susdite représente une série ^-„f.i') 

 la fonction génératrice <f{t) doit être holomorphe aux environs du point / = et 



satisfaire du reste aux conditions énumérées dans le § 2. 

 On voit par exemple que cette série de factorielles: 





convergente dans toute l'étendue du plan des ,v à l'exception des points isolés 



0, — 1, — 2, — 3, , n'est pas développable dans une série À„(a:). 



Au conUaire, la fonction 



développable dans toutes les séries î^-n(x), n'est pas développable dans une série 

 de factorielles. 



En somme, nous avons ce théorème général : 



Les intégrales définies de la forme susdite représentent toutes les fonctions dévelop- 

 pables et en série de factorielles et en séries À-;i(x), pourvu que la fonction génératrice 

 fit) soit holomorphe à l'intérieur de ces deux cercles \t\ = 1 et \1 — 1\ = 1 et qu'elle 

 satisfasse encore aux deux groupes des conditions ci-dessus énoncées. 



On voit que cette condition est assez incommode pour des applications; 

 M. PiNCHERLE ") a démontré, en suivant une méthode directe, que la transformation 



') Comptes rendus 3U décembre 19(11. Annales de l'École Normale (3) t. 19; 1902. Kendiconti 

 délia Reale Accademia dei Lincei 17 janvier 1904. Annales de 1 École Normale (sous presse) Mathe- 

 matische Annalen (sous presse). 



'} Renditonti délia Reale Accademia dei Lincei l(i février 1902, 8 novembre 1903. 



ä) Rendiconti del Cireolo Matematieo di Palermo, t. 2, p. 225-220; I88S. .lournal de .Sciencias 

 Mathematicas e Astronomicas. t 11. p. 129 13.'); Coimbra 1893. 



D.K.l) X'iileiisli.SelsU.SUr . 7 li.iUUi-. iKilmviileilsIi. .)(( ni;ilhi-m. Alil II. 2. 11 



