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où il faut admettre 0<3îf.v)<2, d'où cette série nouvelle: 



-^^^.(*(a;) + C) = — y^^^T^f"^ ''^ ), (36) 



sins-x ^ ' I / _^j (.T + s) \ s /' 



s = 



valable, pourvu que !!)î(.rj<2. 



Posons dans (36) x = 1, nous aurons une identité formelle, tandis que l'hypo- 

 thèse X == h donnera la série numérique pour /T-log2 que j'ai déduite récemment') 

 comme cas particulier des séries beaucoup plus générales. 



La formule intégrale (35) est très interessante du reste, parce qu'elle peut être 

 considérée comme généralisation d'une autre formule intégrale très connue. 



Dilîérentions en effet par rapport à .r l'identité 





B(.r, 1 — x) = -^ — = \ j (/^ < ^)î (a:) < 1 ; 



sin; 



nous aurons 



rîogd- 

 ] (1 



»'o 



• cot.x^X-^; '^^•'^-•rf'- iß) 



sinff.r \ (1 — /) 



»'o 



Or, mettons dans (35) 1 — r au lieu de .r, puis transformons l'intégrale définie 

 correspondante en remplaçant / par 1 — t; une soustraction des deux formules inté- 

 grales ainsi obtenues conduira immédiatement à (/9). 



V. 



Sur le développement en serie de factorielles de <5{x). 



§ 12. Impossibilité du problème général. 



Le problème concernant la transformation générale d'une série 5n(-v) à une 

 série de factorielles et inversement doit être désigné à l'avance comme impossible. 

 En effet, nous savons que la somme d'une série convergente 5„(.r) est une fonction 

 qui ne peut pas avoir, dans toutes les parties finies du plan des x, d'autres singu- 

 larités que des pôles simples, tandis que les fonctions développables en séries de 

 factorielles peuvent présenter aussi des singularités transcendantes; c'est-à-dire que 

 de telles fonctions sont beaucoup plus générales que les séries '^„(x). Or, cette 

 différence entre les deux classes de fonctions susdites est également évidente à un 

 point de vue purement analytique. 



') Annali di Matematica (3|, t. 9, p. 218; li)()3. 



