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Quant au rayon de convergence de la série de puissances f(t), la formule (29) 

 donnera cette valeur limite : 



lim ": =0, 



n = y: 



n' 



valable dans tout le champ de convergence de l?fa); c'est-à-dire que la série de 

 puissances (33) est certainement convergente, pourvu que / < 1. 



Cela posé, introduisons dans l'intégrale définie figurant au second membre de 

 (33 bis), au lieu de f(\ — /), la série (33), ])uis intégrons terme à terme, nous aurons, 

 à l'aide d'un tel calcul formel: 



^i-lfaÅ(\-tf--'-r''~'dt=^(-lYa,. 



s = wo s = i) 



r{s-\-i —x)r{x) 



s! ' ^ -' 



or, supposons convergente la série 55(.r), le second membre de (a) n'est autre 



chose que _ 



/^(l-.T)r(.r).«(.r) = ^^^— -«(.r); 

 sniff.r 



c'est-à-dire qu'un théorème général concernant l'intégration dune série infinie') 

 nous conduira immédiatement de («) à (33 bis). 



Posons maintenant dans (33 bis) 1 — .r au lieu de .r, puis transformons l'inté- 

 grale définie ainsi obtenue en mettant 1 — / au lieu de /, nous aurons de même: 



sm;rx 



] (1-0" ' 



d'où cette proposition remarquable: 



Supposons que la fonction fit) satisfasse à cette équation fonctionelle 



fa-t) = f(t), 



la fonction iU.r) deviendra solution de cette même équation, sanoir 



3.^(1— .r) = •iU.v). 



Considérons par exemple la fonction '/'(.v) de Gauss, la formule (24) donnera 

 immédiatement ce développement en série iU.r), dû à Stehn^): 



et valable, pourvu que ^)f(.i-)>(), ce qui donnera, en vertu de (33 bis), la formule 



( nx) + C) = \ ^^ ' — ,, dt , (35) 



intégrale 



smn-a; 



Çlog/.^-' 



') U. Dini: Grundlagen etc. r)2l. 



") Zur Theorie der Eulersehen InleHriile p. 39; Göttinger Studien 1847. 



