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deux séries pniliculières ligiiraiil dans (27) el (28) fsl appliquable aussi à la série 

 générale (30), si celte série est convergente, pourvu que l:H(a-)>0. 



Posons en effet dans CM) x = n^l, où n désigne un entier non négatif, ce 

 qui est permis, nous aurons: 



mn + 1) =^«.v(")' 



(31) 



ce ((ui donnera immédialemenl celle formule générale, 



fl„ ^- J"«(l). m bis) 



Il esl digne de remarque que les séries générales de la forme (30) admellent 

 un développemenl du zéro; nous aurons en effet, pourvu que 9î(.r)> 1: 



(!_!)-'= ,)=^(_1)»(-^--^) 



(32) 



Toul en me réservant de revenir dans une autre occasion sur les séries 

 intéressantes ^lUv), séries que M. Pinchkiu.k ') a étudiées récemment à un autre 

 point de vue, je remarque en passant que nous avons cet autre théorème général: 



Le champ de convergence, absolue ou non, d'une série "Üix) est aussi lo partie 

 finie du demi-plan situé à droite d'une certaine ligne perpendiculaire à l'axe des nombres 

 réels. La distance entre cette ligne et la ligne parallèle gui détermine le champ de 

 convergence absolue de i? (.r) ne peut jamais être plus grande que l'unité. 



Cependanl la démonstration de ce théorème nous conduirait beaucoup trop 

 loin ici. 



§11. La fonction .^ -i^.r). 

 ■ sm;r.r 



En revanche nous avons à démontrer cet aulre théorème singulier concernant 

 la série iß(a-) figurant dans (30), convergente pourvu que 3{(.r)>0: 



Supposons convergente pour des valeurs finies de x la série 'i^(x) de coefficients 

 binomiaux, cette série de puissances 



f(t) =^(-\faj' 



(33) 



a son ragon de convergence égal à 1 au moins, et nous aurons cette représentation 

 intégrale: ^, 



JL„ . i> (.r) _ W(l - ') • '" ' ji (33 bis) 



.1- - 1 

 sin nx " ' \ ({ —tf 



vaUdyle généralement, pourvu (pie 0<^)î(.r)< 1. 



') Uciidicdiiti dclle Heule Aeademia dei Liiaei i3| t. Il, p 139. 417; 1002. Dan.s une lettre récente, 

 datée le 14 avril li)()4. .M. I'ixchkiii.k ma eommuaiqué la condition nécessaire et suffisante qui doit 

 être remplie par une fonction dévcloppable en série 33 (XI de coefficients binomiaux. 



