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tandis (jue le coefficient binomial st- présente sous la fornu- nouvelle 



\ rt ) ' 'M " j r„(l-.r).n^' 

 d'où celte valeur limite, fondamentale dans ce qui suit : 



(29) 



lim 



ri') 

 (^1 







(jiiantilé finie et déterminée (29 bis) 



selon que 9î(x — ,'/)§0, et pourvu (jue ni ,i- ni ;/ soit égal à un positif entier. 

 Cela posé, considérons la série suivante de coefficients Ijinomiaux: 



35(.r) ==^«^-(''"7^)' (30) 



soumise seulement à la condition d'etre convergente pour des valeurs finies de x, 

 tandis que les coefficients «, sont indé])endants de .r; je dis que nous aurons ces 

 deux propositions fondamentales: 



Supposons finis tous les termes de la série Î8(.i'), la série 3?(.f') sera certainement 

 absolument convergente, pourini (pie '^{x — .X')>1. 

 Nous aurons en effet, en vertu de (29), 



fx'— Il 



-rT') 



K 



^S«(x'-a!)' 



(«) 



où A' désigne une quantité positive finie, ce qui démontrera immédiatement la 

 justesse de notre assertion. 



De plus, la formule (a) donnera cette nouvelle proposition: 



Les deux séries à termes positifs 



où ç, 7j et rj désignent des cpiantités réelles, sont en même temps convergentes ou divergentes. 

 Cela posé, il est très facile de démontrer le théorème général suivant : 

 Le champ de convergence absolue de la série i?(x) de coefficients binomiau.v figu- 

 rant au second membre de (30) est la partie finie du demi-plan situé à droite d'une 

 certaine ligne perpendiculaire à l'a.ve des nombres réels. La série de ce genre obtenue 

 pour l'intégrale définie \V{.v} figurant dans (23) est absolument convergente, pourvu 

 que 9î(a:)> 1. 



Démontrons maintenant que la forme très singulière des coefficients dans les 



