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Pniir la fnnctinn \V(x) siisdilc nniis nhlenons cc (lci>cl<>j)pcnu'nl en serie 4^(.^■) <k' 

 coefficients binomiaux ; 



W(x) =^j'W(l).('^'y^), (27) 



S = U 



convergente généralement, pou nm (pie 9f{(a-) > 0. 



Cela posé, une comparaison des deux formules (23 bis) et (27) donnera ce 

 corollaire intéressant : 



Le terme de reste de la série infinie figurant <ni second membre de (21) se pré- 

 sente sous cette forme singulière: 



«„_n.r) == (-l)''-'-/i-(''~''")A(j;; 'W(/,y))^_,./-^- 'dt. (27 bis) 



*}" 



Supposons particulièrement que la l'onction génératrice f(t) de W(.r) satisfasse 

 aux conditions habituelles de nos recherches précédentes, savoir d'être holomorphe 

 à l'intérieur du cercle t = 1 et cfue ses coefiicients soient à ordre lini, nous aurons 

 ce théorème plus particulier concernant l'intégrale &{.v): 



Une intégrale 0>5(.v) à indice ßni est toujours développable en série 4U.r) de coef- 

 ficients binomicmx, comme suit: 



&(x) =^A'@(l}-(''~^y 9î(.r)>0, (28) 



s = 



dont le terme de reste se présente sous cette forme remanpiable : 



s = ^ 



/n — x\ \~' 1-2-3 .... n a^ .„„ , . . 



s = 



§10. Propriétés générales d'une série S?(.r). 



Généralement les séries ÜU.v) de coefiicients binomiaux cjue nous venons d'in- 

 troduire possèdent une suite de propriétés singulières, dont la plupart peuvent être 

 démontrées par un procédé analogue à celui que j'ai appliqué dans mes i"echerches 

 sur les séries de factorielles'). 



Introduisons en elTet la fonction auxiliaire 



r r ^ = ^? '^^■- - ^^^ ' "^ 

 "■' x(x+l) .... (x+n — l)' 



où /) désigne un positif entier fini, nous aurons évidemment cette valeur limite: 



lim l'nlx) = r(x), 



') Annales de TKcole Normale (3), t. 19, p. 412; 1902. 



