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ou, ce qui revient au même: 



ß{x) = - Ö. log ß (I , ] j = J ( y( •'■-+ ^ ) - r[ -J )) . (25 bis) 



Or, je dis que la diirérence J'^/?„(l) est un nombre rationnel; nous aurons en 

 effet: 



ce qui donnera linalement, après un simple calcul, cette lormule intéressante; 



s = U 



où nous avons posé pour abréger; 



'f+' ] (1+0^ 



(26) 



^^'■•" = ■ »n-r ^- J> ^- • (26 bis) 



S = U 



IV. 



Développement de <5(x) en série P(j:j de coefficients binomiaux. 



§9. Développement de l'intégrale W(.r). 



Dans la section précédente nous venons de soumettre l'intégrale délinie W(.v), 

 qui ligure dans la premièi'e des formules (23), à une transformation intéressante; 

 ici nous avons à considérer d'un autre point de vue l'intégrale susdite, ce cpii 

 augmentera beaucoup l'intérêt de la formule générale (23 bisj. 



A cet elTet, prenons comme point de départ l'identité évidente 



wix) =^(f(t)f''dt = ^/•(/)Ll-(l-or'rf^ 



puis remarquons que cette série de puissances, où 9î(.r)>0, 



s=oc 

 .r -1 



|l-(l-of =^^(-l)^(-*" _^ ^)(1-/)' 



s = 



est intégrable terme à terme de / = à / ^ 1; un théorème bien connu concer- 

 nant l'intégration d'une série inlinie ') donnera ce résultat remarquable : 



') C Dim: Grundlagen etc. p. .V21. 



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