74 18 



Pour établir maintenanl la formule (22) nous aurons à remplacer dans les for- 

 mules précédentes la fonction /'(/) par cette série de puissances : 



,p{t) = a„+a,t+af^af+ ...., 



ce (jui donnera sans peine: 





eist' 



(n~l)! ^V ^' ' ^^ (s-f l)(s + 2).... (s + n)' 



d'où, en vertu de {fp). la formule (22), pourvu que le positif entier ;i soit plus 

 grand que l'indice l de l'intégrale %{x). 



Supposons particulièrement que %(x) soit développable dans une série ^(.r), 

 la démonstration de (22) peut être établie en formant successivement, à l'aide de 

 la série '^{x) elle-même, les premiers membres des formules (y ). 



§8. Applications. 



Cette méthode s'applique immédiatement à la fonction W(x) de Gauss intro- 

 duite dans la formule (5), car Tidcntité numérique '/'(l) = — C nous permet d'écrire 

 la formule (ô) sous cette forme nouvelle: 



de plus, nous aurons évidemment: 



X .t(.t+1) .... {X-\-T — 1) 



ce qui donnera immédiatement, en vertu de (22), pour la fonction '/'(.v) cette nou- 

 velle expression ; 



nx) ^ _c+ V<^i>^(---M-(''--^>X--^-^|-^^^^ 



^ s \ s I \ n 1 -^ ■ (s+l)(s-!-2) ... (s-\-n) x + s 



s=i S=U 



où ;i désigne un positif entier uni quelconque; la formule (24) est très remarquable 

 si on la compare à la formule (6). 



Considérons comme second exemple de (22) la fonction /9„(a-) introduite dans 

 la formule (17), nous aurons immédiatement: 



/9„(.T)=^(;'"7')jV"n) + ("7-'")-^(-f), 



.s = 



où nous avons posé pour abréger: 



1 . X= 'X 



(-If 



/9(x)^\[+,rf/^^l,;V (25) 



S=IJ 



